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PAGE PAGE 10 人教版八年级第二学期数学知识点 二次根式 aaa1． 二次根式：一般地，式子 a a a , (a ? 0) 叫做二次根式. a注意：（1）若a ? 0 这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2） 是一个重要的非负数，即； ≥0. a 22．重要公式：（1） ( a ) 2 ? a (a ? 0),（2 a 2 ? a ? ?a (a ? 0) ；注意使用a ? ( a ) 2 (a ? 0) . abab?积的算术平方根： ? ? ab a b ? ?? a (a ? 0) (a ? 0 , b ? 0) ，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本 章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. abab二次根式的乘法法则： ? ? (a ? 0 , b ? 0) . a b ab 二次根式比较大小的方法： 利用近似值比大小； 把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； 分别平方，然后比大小. a bab商的算术平方根： ? (a ? 0 , b ? 0) ，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方 a b a b 二次根式的除法法则： abab（1） ? (a ? 0 , b ? 0) a b a b aba ? b（2） ? ? (a ? 0, b ? a b a ? b aabababab（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使 分母变为整式. a a b a b a b a b 常用分母有理化因式： 与 ， a ? 与 ， m ? n 与 m ? n ，它们也叫互为有理化 因式. 最简二次根式： 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； 最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； 化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； 二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 二次根式的混合运算： 二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公 式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； 二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为 分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 勾股定理 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ， b ，斜边为c ，那么a2 ? b2 ? c2 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角 ba b a c c c c HE H E G F b a a家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现 C a b 并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 b a 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 A c B a b A a A a c c D ② 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 b 常见方法如下： 1 E a B b C 方法一： 4S ? 方法二： S 正方形EFGH ? S 正方形ABCD ， 4 ? ab ? (b ? a)2 ? c2 ，化简可证． a2 ? b2 ? c2 2 1四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 1 S ? 4 ? ab ? c2 ? 2ab ? c2 大正方形面积为S ? (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 所以a2 ? b2 ? c2 2 1 1 1 方法三： S 梯形 ? (a ? b) ? (a ? b) ， S 梯形 ? 2S ?ADE S ?ABE ? 2 ? ab ? c2 ，化简得证： a2 ? b2 ? c2 2 2 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 a2 ? b2c2 ? a2４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在?ABC 中，?C ?