弹性力学第五章变分法.ppt

第一页，共二十七页，2022年，8月28日 函数的变分 如果对于变量 x 在某一变域上的每一个值，变量 y 有一个值和它对应，则变量 y 称为变量 x 的函数, 记为： 如果由于自变量 x 有微小增量 dx，函数 y 也有对应的微小增量 dy，则增量 d y 称为函数 y 的微分, 记为： 假想函数 的形式发生改变而成为新函数 ，如果对于 x 的一个定值，y 具有微小增量： 增量 称为函数 的变分。 第二页，共二十七页，2022年，8月28日 函数的变分 y x1 x2 x u* u δu 是函数 u的变分。 A B z δu 第三页，共二十七页，2022年，8月28日 泛函及其变分计算 泛函：如果对于某一类函数 中的每一个函数 ,变量 J 有一个值和它对应，则变量 J 称为依赖于函数的泛函，简单的说，泛函就是函数的函数。记为： 例如，连接平面内给定的两点之间的曲线长度可以写为： 显然，曲线长度依赖于函数 的形式，则 是函数 的泛函。 第四页，共二十七页，2022年，8月28日 泛函及其变分计算 设泛函 I 有如下形式： 下面计算泛函 I 的变分： 首先，函数 的变分为： 第五页，共二十七页，2022年，8月28日 泛函及其变分计算 接着考察泛函 I 的变分： 另一方面： 只要积分上下限不变，变分的运算可以和定积分的运算交换次序。 第六页，共二十七页，2022年，8月28日 泛函及其变分计算 泛函 I 在曲线 上达到极大值或极小值的必要条件为： 例如对于： 其达到极值必须有： 第七页，共二十七页，2022年，8月28日 泛函及其变分计算 0 设函数 通过A，B两点，且具有边界条件： 试写出泛函 的极值条件。 第八页，共二十七页，2022年，8月28日 泛函及其变分计算 简例，试求连接平面内给定两点之间的曲线长度最短时的曲线函数。 第九页，共二十七页，2022年，8月28日 弹性体的形变势能 弹性力学变分法中所研究的泛函，就是弹性体的能量，如形变势能，外力势能等。因此弹性力学中的变分法又称为能量法。 弹性体的形变势能密度为： 弹性体的形变势能为： 对平面问题： 第十页，共二十七页，2022年，8月28日 弹性体的形变势能 第十一页，共二十七页，2022年，8月28日 弹性体的形变势能 由上式可知，弹性体的形变势能大于等于零，试证明之。 第十二页，共二十七页，2022年，8月28日 弹性体的外力势能 外力所做的功称为外力功： 由于外力做了功，因此消耗了外力势能，则弹性体的外力势能为： 体力 面力 面力作用面 第十三页，共二十七页，2022年，8月28日 位移变分方程 现在我们来考察，由于弹性体发生了虚位移 和 ，所引起的外力功，外力势能和形变势能的改变： 第十四页，共二十七页，2022年，8月28日 位移变分方程 极小势能原理 假定弹性体在虚位移过程中并没有温度的改变和速度的改变，这样，按照能量守恒定理，形变势能的增加应该等于外力势能的减少，也就是等于外力所做的功，于是： 位移变分方程： 极小势能原理： 在给定的外力作用下，满足位移边界条件的所有组位移状态中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值。 第十五页，共二十七页，2022年，8月28日 虚功方程 如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那么在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的功就等于应力在虚应变上所做的虚功。 位移变分方程（或极小势能原理，或虚功方程）等价于平衡微分方程和应力边界条件，或者说可以代替平衡微分方程和应力边界条件。 第十六页，共二十七页，2022年，8月28日 练习 已知右图中杆件中的纵向位移u与横向向位移v之间的关系如下： x y 其中u0为杆件中轴的纵向位移，假设其为常数，v只是纵向坐标的函数，试写出该杆件的形变势能，并计算形变势能的变分。 l 0 第十七页，共二十七页，2022年，8月28日 位移变分法（1） 若设定一组包含若干待定系数的位移分量的表达式，并使它们预先满足位移边界条件，然后再令其满足位移变分方程（用来代替平衡微分方程和应力边界条件）并求出待定系数，就同样能得出实际位移的解答。 第十八页，共二十七页，2022年，8月28日 位移变分法（2） Am，Bm为互不依赖的2m个待定系数，用来反映位移的变化，即位移的变分是由Am，Bm的变分来实现： 形变势能的变分： 第十九页，共二十七页，2022年，8月28日