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V.C The Niemeijer–van Leeuwen Cumulant Approximation
Unfortuna y, the decimation procedure cannot be performed exactly in higher di-
mensions. For example, the square lattice can be divided into two sublattices. For an
√
RG with b = 2, we can start by decimating the spins on one sublattice. The in c-
tions between the four spins surrounding each decimated spin are obtained by generalizing
eq.(V.13). If initially h = g = 0, we obtain
X ′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′ Ks(σ +σ +σ +σ )
1 2 3 4
R(σ , σ , σ , σ) = e ′ ′ ′ ′
= 2 cosh [K(σ + σ + σ + σ )] . (V.28)
1 2 3 4 1 2 3 4
s=±1
Clearly the four spins appear symmetrically in the above expression, and hence are subject
to the same two body in ction. This implies that new in ctions along the diagonals
of the renormalized lattice are also generated, and the nearest neighbor form of the original
Hamiltonian is not p . There is also a four point in ction, and
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
R = exp [g + K (σ σ + σ σ + σ σ + σ σ + σ σ + σ σ ) + K σ σ σ σ ] . (V.29)
1 2 2 3 3 4 4 1 1 3 2 4 4 1 2 3 4
The number (and range) of new in ctions reases with each RG step, and some trun-
cating approximation is necessary. Two such schemes are described in
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