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? 集合的运算与逻辑关系
函数的三要素,对称性,单调性是一个框架,在该框架下,我们学习了几个简单初等函数
在《集合》这个章节中,我们需要同学掌握集合和元素之间的相互关系、以及数学语 言的表达方式;能够对集合进行基本运算;明白几种区间的表达方式;特别值得注意的 是:集合之间的包含关系与未来我们学习「逻辑关系」时有非常强的联系——这就是《高 考大纲》中强调的“数学知识之间深刻的内在联系,包括各部分知识的纵向联系和横向联 系”,这种强联系直接指导了高考的命题工作要“从学科的整体高度和思维价值的高度考 虑问题,在知识网络的交汇点处设计试题,使对数学基础知识的考查达到必要的深度”*
*引文来源:教育部《高考大纲》数学部分第四章节:考察要求
在《函数》这个章节中,我们最为关心的是普遍意义下的函数初等性质。 其中最关键 的是:函数的三要素(其中又以「定义域」为核心关切对象) 、函数的「对称性」(其中 以「奇偶性」为代表) 、以及函数的「单调性」——它们三者构成了一个框架。 在高考试 题中,看到任何一个函数,我们原则上都应该先从这三个方向进行分析。
在这个框架之下,我们将几个简单的初等函数应用于其中,包括:指数函数、对数函 数和幂函数,从而进一步深入的讨论这三大类简单初等函数的三要素、 对称性、 以及单调 性。
最后、 每一个简单初等函数都会对应某种图像,这些图像在坐标轴上将会出现一些关 键的几何性质,它将有助于大家结合具体图像更深入的理解数学公式的内涵,这也是「数 形结合」这一思想在高考数学中的初步应用。
集合与元素之间的基本运算关系 集合关系所蕴含的逻辑关系
? 集合的运算与逻辑关系
① 集合中元素特征:确定性,互异性,无序性;
② 一些基本的集合: R, N, N+, Q, Z, C
@Heshawn 主讲 | 《一语中的: 高中数学 15 讲》 2 微信搜索「效率研究所」回复「新 100 题」免费查看本课程配套真题笔记
③ 元素与集合的关系,用或 茫 表示;
④ 集合与集合的关系,用 , 仁, =表示:
? 当 A B 时,称 A 是 B 的子集;
? 当 A 仁 B 时,称 A 是 B 的真子集;
⑤ 交: A∩B={x|x∈A 且 x∈B}
⑥ 并: AUB={x|x∈A,或 x∈B}
⑦ 补: CUA= {x|x∈U,且 x茫 A},集合 U 表示全集;
⑧ 区间: [a, b], (a, b), [a, b), (a, b], R = (?,+), [a,+);
⑨ 「集合包含关系」与「充分必要条件」之间的对应关系
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? 函数定义的重点:表达式、定义域及值域
做任何事情,弄清事情的边界都非常重要,看到一个函数时要线想它的「定义域」在哪儿
① 映射 | 设 A, B是两个非空的集合, 如果按照对应法则 f ,对于集合 A 中的任意一个
元素, 在集合 B中都有唯一的元素和它对应, 那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的 映射,记作 f : A → B 。
? 映射允许多对一,一对一,但是不允许一对多;
? 允许集合 B 中的元素在集合 A 中没有元素和它对应。
② 函数 | 设 A, B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合A 中的 任意一个 x, 在集合 B 中都有唯一的值与它对应, 那么称 f : A→ B为从集合A 到集
合 B的一个函数, 记作: y = f (x)
? 其中 x 叫做自变量, y 叫做函数, 自变量 x 的取值范围(数集 A) 叫做函数的定
义 域, 与 x 的 值 对 应 的 y 值 叫 做 函 数 值, 所 有 函 数 值 构 成 的 集 合 C = y y = f (x), x A} 叫做这个函数的值域。
? 函数的三要素分别是:定义域、值域、对应法则。
( 2024 山 东 卷 ) 设 f(x)=
| 万剑归宗十套卷 0153
若 f(a)=f(a+1) , 求 f(
).
③ 定义域 | 求函数的定义域的主要依据是:
? 分式的分母不能等于零, y = tan x的定义域是{x | x 丰 k+ 2
? 偶次方根的被开方数必须大于等于零;
k z};
@Heshawn 主讲 | 《一语中的: 高中数学 15 讲》 4 微信搜索「效率研究所」回复「新 1
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