2021届高中数学二轮复习不等式中的整数解问题研究讲义.pdf

不等式中的整数解问题 自从 2009 年天津高考数学文理卷中各出现一道不等式中的整 数解问题(具体题目可以自行度娘)以后，立刻风靡各大模拟考试以 及高考中，也算是考试的常客，解题的难度也偏大，小编梳理了 2019-2020 学年第一学期江苏各地模拟卷之后，将不等式的中的整 数汇编如下： 【知识回顾】 在 2020 年江苏省高考数学考试大纲中，不等式中一共 3 个考 点，其中两个是 C 级要求的考点，一个是基本不等式，一个是一元 二次不等式，而一元二次不等式恰好是整数解问题最好的载体，各 地研究试题的老师在此基础上，以及结合导数研究函数这一工具性 知识的学习，将不等式整数解问题推广到其他超越不等式中，其中 最典型的是 2015 年全国卷 1 中第 12 题，以小编的经验来看，解决 不等式的整数解问题，核心是想法求出整数解，然后结合不等式求 出相应的参数范围. 【典型例题】 例题 （2015 年全国卷 1 第 12 题 ）设函数 f(x) ＝ex(2x －1) －ax ＋a ， 其中 a1 ，若存在唯一的整数 x0 ，使得 f(x0) 0 ，则 a 的取值范围 是( ) A.[ 3 ，1)B. [ 3 3 )C. [ 3 3 )D. [ 3 ，1)   , , 2e 2e 4 2e 4 2e 解法 1 由 f(x)0 ，得ex(2x －1)ax －a ，作出函数 x (2 1) （利 y e x  用导数求出单调性，在 (, 1) 上减，在 ( 1 ,) 上增）与函数 y a(x 1) 的 2 2 示意图如下：观察到当 a1 时，－a －1 ，所以x=0 时，不等式成 立，即满足条件的整数解即为 x=0 ，且只有这个整数符合不等式， f (1)≥0 还需满足  解得 3 ≤a 1 ，即选D. f (1)≥0 2e  y 1  2 O 1 x a 1 解法 2 由 f(x)0 ，得ex(2x －1)a(x －1) ，显然 不符合不等式， x 1 x x x 当 x1 时， e (2x 1) ，当 ， e (2x 1) ，作出函数 e (2x 1) ， x 1 a  a  y  x 1 x 1 x 1 x 如图，由 a 1 ，显然当x1 时，a e (2x 1) ，不