2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率.docx

2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率之积为定值问题 定值问题的本质是动中生静，是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量不变的问题.本文从2020年青岛二模的题目出发，总结在解析几何中四种斜率乘积为定值、的情况，然后通过一个题目展示条件隐藏的斜率乘积为定值的题目，将数学运算的学科素养能力进一步提升。 关键词：斜率之积定值数学运算 一、斜率之积问题的课本溯源： 普通高中课程标准试验教科书《数学》（选修2-1）人教A版的探究题：点?厂的坐标分别是直线卓.，相交于点酎；，且它们的斜率之积是-,试求点，的轨迹方程，并由点，的轨迹方程判断轨迹的形状。 思考1平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（），则该点的轨迹是什么？ 思考2平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（除之外的负值），则该点的轨迹是什么？ 思考3平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（正数），则该点的轨迹是什么？ 通过对课本溯源以及三个问题的思考，我们可以得出一般性结论：斜率定值为，则轨迹为以：：11为直径的圆；斜率定值为除了的负值，则轨迹为椭圆；斜率定值为正数，则轨迹为双曲线。斜率之积为定值，可以得到唯一确定的圆锥曲线，因此该定值应该是于圆锥曲线的离心率是有联系的。下面我们从2020年青岛二模中的题目出发，已知圆锥曲线方程去探究斜率乘积的定值问题。 二、模拟题中的问题呈现及变式探究X2V2 （2020年青岛二模节选）已知“为坐标原点，椭圆■■*的离,丈2_晅 心率为，双曲线-的渐近线与椭圆「-的交点到原点的距离均为-. 1. 求椭圆，-的标准方程； 2. 若点为椭圆，-上的动点，’八匚三点共线，直线的斜率分别为证明：. 解析：（1）椭圆方程为-’I，过程略。 （2）设r，则.设门：| 由点“-在椭圆上，得：一一①，丁一「-1②FF二I 两式相减并整理，得JL赤 即Ln1 模拟题的解题溯源： .—I■. 椭圆??■,（ab0）上任一动点P（x，y）到椭圆任意一条直径（过椭圆中心的弦）的两个端点的斜率乘积等于多少？ X1尸1.I.J—1 解：设椭圆三W-（ab0）的任意一条直径为上.????，是直径...点■■关于原点称. 设E*，则.由点在椭圆上，得: 蚌+事+尸—1 --①丁丁② 两式相减并整理，得..一~ 即… 点拨：对于本类证明，采用两式相减消参，借助直线的斜率公式得出结果。 对于双曲线，只需要把椭圆标准方程中的换成，结论一致，仍为、. ：..如果将圆理解为、」（或者.?：）的椭圆，本结论对圆也是成立的. 此定义可以理解为对两定点张角为直角的轨迹为圆的推广.对于今年的青岛二模题目，如果求证是定值，记住结论也可以验证答案。 结论：圆锥曲线上上三点I*??，若点过于原点对称，即三点共线， 则二， 变式一：若点■-为椭圆，一上的动点，直线。注?的斜率分别为且 -1-证明：￥三点共线. 变式一解题溯源: …工一土+二1/\q一，-—L、八…j工一一-. 过椭圆.■■（ab0）上任意一点」作两直线分别父椭圆于点；（不是长轴的端点），，?，为原点，若.e与的斜率分别为：二，且满足-I，则■■-■-三点共线。 证明：设/1b2土孔I=]xf=_— b2 则一■，两式相减得■-① 丈.② 为‘项_料-凹为F.、十J二工:-上由①②得????■■-■■-即匕.「）二丑2； 故■■■■■,设?’i?.即--?一三点共线， :二线。 点拨：利用方程思想，建立起点E口的关系，其中点.??，是点尸关于原点对称的点。 结论：圆锥曲线上上三点，若?；a，则点过于原点对称，即三点共线。 变式二：若是椭圆「-的左右顶点，?外是椭圆，-上除了??的任意一点，求证为定值。 变式二解题溯源：已知椭圆的左右顶点为*，点投是椭圆上除了I，的任意一点，求证L为定值。 匕JT口.临解：设.，?.? 匕JT口 .临 —十次_1又..?点廿在椭圆，一上，故，???,,==疽一顼匚耳― ②代入①得： 猜想：若把上题中I改为上下顶点，上述结论是否还成立呢? 明：?.?f.设,fr=1?匚*fr=，咱 所以，直线的斜率■，岩I的斜率为. ??■-.: 又点廿在椭圆上，所以丁一了，从而有一k.#一弟书_妒-扩一玳膏】］m?虹---g舟）fl： ②代入①得：: 点拨：本类问题采用了代入消参，借助直线的斜率公式得出结论。 结论：我们可以总结为椭圆（或双曲线）上的两顶点（左右顶点或者上下顶点），与圆锥曲 线上除此之外的任意一点所形成的两条直线斜率之积为定值?. 变式三：若点为椭圆，-上的两个动点，点.：.是弦?的中点，直线 的斜率分别为证明：为定值. x2v2 变式三解题溯源：已知椭圆■■1：：，点为椭圆「一上的两个动点， 点，是弦的中点，直线r的斜率分别为*，求证■为定值。 L+LJt=.上f?二..，二，解：设I