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第三节 等比数列
?1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.体会等比数列与指数函数的关系.
CONTENTS0102/目录 知识·逐点夯实 考点·分类突破
01
?1.等比数列的有关概念?(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项?a,G,b成等比数列?G2=ab.提醒 (1)只有当两个数同号时,这两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数;(2)等比数列的奇数项符号相同,偶数项符号相同.同一个 公比 q
2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=a1qn-1?an=am·qn-m;?
3.等比数列的性质已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=? am·an ?;(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为? qm ?;(3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为? qn ?.am·an qm qn
?1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列. ( )答案:(1)× (2)等比数列{an}的公比q>1,则该数列单调递增. ( )(3)G为a,b的等比中项的充要条件是G2=ab.( )(4)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列{bn}也是等比数列. ( )?答案:(2)× 答案:(3)× 答案:(4)× 答案:(5)×
?B.-2C.2?3.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= ( )A.14B.12C.6D.3
??
4.在等比数列{an}中,a3=4,a7=16,则a3与a7的等比中项为? ?.?解析:设a3与a7的等比中项为G,因为a3=4,a7=16,所以G2=4×16=64,所以G=±8.答案:±85.(2023·济宁一模)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=? ?.??答案:6
?1.等比数列的单调性(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;(2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列;(3)当q=1时,{an}是常数列.
2.等比数列的常用结论?(2)Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn;??
?1.在等比数列{an}中,已知a1>0,8a2-a5=0,则数列{an}为 ( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法确定单调性?
???
02
?等比数列的基本量运算1.(2023·成都模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则公比q= ( )A.2B.3C.4D.5?
?A.a1>0B.q>0?
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+1.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)当n=1时,a1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an+1)-(2an-1+1)=2an-2an-1,即an=2an-1,所以{an}是首项为-1,公比为2的等比数列,所以an=-2n-1.(2)若Sn=-127,求n.?
|练后悟通|等比数列基本量运算的解题策略(1)方程思想:等比数列的基本量为首项a1和公比q,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含a1,q,n,an,Sn五个量,可“知三求二”;(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解;(3)分类讨论思想:若题目中公比q未知,则运用等比数列前n项和公式时要分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
等比数列的判定与证明【例1】 已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an.(1)证明:数列{an+an+1}为等比数列;?
??
|解题技法|提醒 (1)在解答题中证明一个数列为等比数列时,一般用定义法;(2)如果要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可.
??A.±2B.-2C.2D.8?
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,a2=1,2Sn+1+Sn-1=3Sn(n≥2,n∈N*),则S6=? ?.???
等比数列的性质及应用考向1 等比数列项的性质?A.4B.8C.12D.16?答案 (1)C
?A.25B.20D.10
?法二:因为数
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