备战2024年高考数学一轮复习课件第七章重难专攻（六）　立体几何中的综合问题.pptx

重难专攻（六）　立体几何中的综合问题 　　随着高考改革的不断深入，立体几何中的动态、最值、翻折、探究等问题倍受命题者青睐.解决此类问题的关键是“以静制动”，将其转化为平面几何问题，通过构造函数、基本不等式等方法加以解决. 动态问题【例1】　（多选）如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的是 （　　）B.若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2πC.若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 ? ?答案　ACD ｜解题技法｜解决与几何体有关的动态问题的方法（1）几何法：根据平面的性质进行判定；（2）定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算；（3）特殊值法：根据空间图形线段长度取特殊值或位置进行排除. ?　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，点Q是△PBC内（含边界）的一个动点，且满足DQ⊥AC，则点Q所形成的轨迹长度是?　　　　?.? ? ?? 最值（范围）问题【例2】　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为b，且a≥b，点D是BC1的中点，则直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值是 （　　） ?答案　D ｜解题技法｜　　立体几何中体积、距离、角的最值（范围）问题，常用的解题思路是：（1）直观判断：判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大（小）值；（2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类问题转化为函数，从而利用代数方法求解.?? ?? 翻折问题【例3】　图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.（1）证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； 解　（1）证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，所以AB⊥平面BCGE.又因为AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE. （2）求图②中的二面角B－CG－A的大小.? ? ｜解题技法｜1.折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.2.由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开，这是解决空间垂直问题的技巧. ??（1）求证：平面BC1E⊥平面ABED； ? （2）已知点P为线段DC1上一点，且PC1＝2PD，求直线BP与平面ABC1所成角的正弦值.? ? 探究问题【例4】　（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.（1）证明：BF⊥DE； ? （2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？? ? ｜解题技法｜利用空间向量巧解探究性问题的策略（1）空间向量最适合于解决立体几何中的探究性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；（2）解题时，把结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的解”等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题.提醒　探究线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用. ??（1）求证：PD⊥平面PAB；解：（1）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，AB，PA?平面PAB，所以PD⊥平面PAB. （2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；解：（2）取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO?平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.建立如图所示空间直角坐标系.由题意得A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，1）. ?? ?? ??A.πB.2πC.4π ? 2.已知点M是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在平面BCC1B1所在的平面内.若