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第四节 二次函数
1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
CONTENTS0102/目录 知识·逐点夯实 考点·分类突破
01
?1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)图象??定义域RR值域
续表单调性对称性?
?1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数. ( )答案:(1)× ?答案:(2)×2.若函数y=x2-2tx+3在[1,+∞)上为增函数,则t的取值范围是? ?.?解析:函数y=x2-2tx+3的图象开口向上,以直线x=t为对称轴.又函数y=x2-2tx+3在[1,+∞)上为增函数,则t≤1.答案:(-∞,1]
3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=? ?.?解析:设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a≠0),又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+1
?二次函数在闭区间上的最值设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),闭区间为[m,n]:????
? 已知函数f(x)=-2x2+mx+3(0≤m≤4,0≤x≤1)的最大值为4,则m的值为? ?.???
02
?求二次函数的解析式【例1】 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求二次函数f(x)的解析式.?
?
?解得a=-4或a=0(舍去),故所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
|解题技法|求二次函数解析式的方法
? 已知函数f(x)=x2+bx+c,且g(x)=f(x)+2x为偶函数,再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,求f(x)的解析式.条件①:函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5;条件②:函数f(x)≤0的解集为{1};?注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
解:函数f(x)=x2+bx+c,则g(x)=f(x)+2x=x2+(b+2)x+c,因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),即x2-(b+2)x+c=x2+(b+2)x+c,可得b=-2,所以f(x)=x2-2x+c,图象开口向上,对称轴为直线x=1.若选条件①,因为函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5,所以f(-2)=4+4+c=5,解得c=-3.所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.若选条件②,由函数f(x)≤0的解集为{1},可得f(1)=0,即1-2+c=0,解得c=1,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+1.
?
考向1 二次函数图象的识别【例2】 (多选)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则( )A.b=-2aB.a+b+c<0C.a-b+c>0D.abc<0?答案 AD
|解题技法|识别二次函数图象应学会“三看”
考向2 二次函数的单调性与最值【例3】 已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;?
(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.?
|解题技法|二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴变动、区间固定;③对称轴固定、区间变动.(2)求解策略:抓住“三点一轴”进行数形结合,三点是指区间的两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
?1.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 ( )解析:D 因为abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c,那么可知,在A中,a<0,b<0,c<0,不符合题意;B中,a<0,b>0,c>0,不符合题意;C中,a>0,c<0,b>0,不符合题意,故选D.
2.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是 ( )A.[0,+∞)B.(-∞,0]C.[0,4]D.(-∞,0]∪[4,+∞)?
3.已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.?
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