教学设计：计数原理.docxVIP

式是 计数原理 教学目标 1. 理解两个原理，并会应用解题； 2. 掌握罗列组合的概念并且会灵便运用； 3. 掌握二项式定理的内容和熟练运用解题。 导入新课 1.复习回顾：加法原理与乘法原理； 2.罗列和罗列数的概念、组合与组合数的概念，以及灵便运用解题； 3.二项式定理的内容。 新授课阶段 主干知识梳理 1．分类计数原理和分步计数原理 分类计数原理： 完成一件事情， 有 n 类办法， 在第 1 类办法中有种不同的方 法，在第 2 类办法中有种不同的方法……在第 n 类办法中有种不同的方法.那末 完成这件事共有 1 2 n 种不同的方法。N = m + m + . 1 2 n 种不同的方法。 分步计数原理： 完成一件事情， 需要分成 n 个步骤， 做第 1 步有种不同的方 法，做第 2 步有种不同的方法……做第 n 步有种不同的方法.那末完成这件事共 有N = m1 m2 . . . mn 种不同的方法。 2．罗列与组合 (1)罗列： 从 n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一 列，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个罗列．从 n 个不同元素中取出m 个元素的罗列数公式是 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或者写成 A＝n！(n－m)！. (2)组合： 从 n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个组合． 从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数公 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n！ C＝ m！ ，或者写成 C＝m！ (n－m)！. (3)组合数的性质 ①Cm ＝Cn－m； n n n＋1 n n .②C n＋1 n n . 3．二项式定理 (1)定理： (a＋b)n ＝C0anb0＋C1an－1b＋C2an－2b2 ＋…＋Cran－rbr ＋…＋Cna0bn (r＝ n n n n n 0,1,2，…， n)． (2)二项展开式的通项 T ＝Cran－rbr，r＝0,1,2，…， n，其中 Cr叫做二项式系数． r＋1 n n (3)二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即 C0 ＝Cn，C1 ＝Cn－1，…， Ck ＝Cn－k，… . n n n n n n ②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值；当 n 为奇数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．C0＋C1＋C2 ＋…＋Ck ＋…＋Cn ＝2n； n n n n n b．C0＋C2 ＋…＋C2r＋…＝C1＋C3 ＋…＋C2r＋1＋… n n n n n n 1 2＝ ·2n ＝2n－1. 2 典例分析 题型一两个计数原理 例 1、如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每 个花池内只能种 同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有( ) A．180 种 C．360 种 解题导引 题 题意 B．240 种 C．420 种 → 按花色分类 → 每一类再分步 → 结果 2 (1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数 原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或者列出表格，使问题更加直观、清晰． (2)当两个原理混合使用时，普通是先分类，在每类方法里再分步． [由题意知， 至少用三种颜色的花卉， 按照花卉选种的颜色可分为三类方案， 即用三种颜色，四种颜色，五种颜色． ①当用三种颜色时，花池 2、4 同色和花池 3、5 ②当用四种颜色时，花池 2、4 同色或者花池 3、5 ③当用五种颜色时有 A5种方案． 5 因此所有栽种方案为 A3＋2A4＋A5 ＝420(种)．] 5 5 5 同色，此时共有 A3种方案． 5 同色，故共有 2A4种方案． 5