备战2024年高考数学一轮复习讲义人教A版第六章 §6.2　等差数列.docx

§6.2　等差数列 考试要求　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 知识梳理 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于______________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母______表示，定义表达式为________________________． (2)等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，且有A＝________. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝________________. (2)前n项和公式：Sn＝__________________或Sn＝________________________. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋____________(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列． 常用结论 1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 4．数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　　) (4)若无穷等差数列{an}的公差d0，则其前n项和Sn不存在最大值．(　　) 教材改编题 1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　) A．12 B．8 C．20 D．16 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________. 题型一　等差数列基本量的运算 例1 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，则a33等于(　　) A．82 B．97 C．100 D．115 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ (2)(2022·岳阳模拟)已知等差数列{an}满足a2＝4，a3＋a5＝4(a4－1)，则数列{an}的前5项和为(　　) A．10 B．15 C．20 D．30 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 跟踪训练1 (1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影