常微分方程期末试题及答案.doc

PAGE 1 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 SEQ MTEqn \r \h SEQ MTSec \r 1 \h SEQ MTChap \r 1 \h 常微分方程期末试题及答案 一、填空题（） MACROBUTTON MTEditEquationSection2 SEQ MTEqn \r \h SEQ MTSec \r 1 \h SEQ MTChap \r 1 \h 一、填空题（） 1所满足的一阶微分方程是． 2. 方程的皮卡序列. 3 是二阶齐次微分方程的两个线性无关的解，，的朗斯基行列式W(x)= ． 4．设，则． 5．方程的解为． 6．奇解和包络的关系 奇解是通解的包络 二、求解下列一阶微分方程.（） 二、求解下列一阶微分方程.（） 得分 1. 解: 由求解公式: 2． 解：，； ，， 积分因子，以积分因子乘以方程两边得： ，通解 3． 解：令，得到，两边对求导得 ，即 ,,解得原方程的解： 三、求解下列微分方程组 （） 得分 三、求解下列微分方程组 （） 得分 (1) 解：特征方程 对应向量 对应向量 方程组的解 。 (2) , 满足初始条件 解：方程组即： 由(2) 得代入 (1)： 代入(3) 由初始条件得 故 四．求的通解． 四．求的通解． 得分 解：特征方程 是对应特征根，设特解 代入方程： 通解： 五．设二阶常系数微分方程证明（1）零解渐近稳定．（2） 五．设二阶常系数微分方程 证明（1）零解渐近稳定．（2）零解稳定 得分 证明：特征方程 1 零解渐进稳定 2 零解稳定 得分 六、讨论方程组 得分 的零解的稳定性。（） 解：取正定函数， （1）当负定，零解渐近稳定。 （2）当，零解稳定。 （1）当正定，零解不稳定。 得分 七．判定二阶系统的奇点类型并作出其相图．（） 得分 特征方程故为不稳定鞍点 特殊方向 ，画图。