备战2024年高考数学一轮复习课件第七章第五节　空间向量与线、面位置关系.pptx

第五节　空间向量与线、面位置关系 ?1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. CONTENTS010203/目录　　　　　　　　知识·逐点夯实　　　考点·分类突破　　　课时·过关检测 01 ?1.空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量（平行向量）表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于?　同一个平面　?的向量同一个平面　 续表概念语言描述共线向量定理对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b?存在实数λ，使?　a＝λb　?共面向量定理如果两个向量a，b不共 线?，那么向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yba＝λb　不共线　 续表概念语言描述空间向量基本定理及推论提醒　空间向量基本定理的3点注意：①空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底；②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量；③基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.xa＋yb＋zc　1　 ?｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　 （2）空间向量运算的坐标表示a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R向量和a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）向量差a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）数乘向量λa＝（λa1，λa2，λa3）数量积a·b＝?　a1b1＋a2b2＋a3b3　?共线a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0）垂直a⊥b??　a1b1＋a2b2＋a3b3　?＝0夹角公式a1b1＋a2b2＋a3b3　a1b1＋a2b2＋a3b3　 3.直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量；（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量；（3）方向向量和法向量均是非零向量且不唯一；同一条直线的方向向量共线；同一个平面的法向量共线. 4.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝kn2（k∈R）l1⊥l2n1⊥n2??　n1·n2　?＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m??　n＝km　?（k∈R）平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m?n＝km（k∈R）α⊥βn⊥m?n·m＝0n1·n2　n＝km　 ?1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）直线的方向向量是唯一确定的. （　　）答案：（1）×　（2）若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α. （　　）（3）若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量. （　　）（4）若a·b＞0，则＜a，b＞是锐角. （　　）答案：（2）×　答案：（3）×　答案：（4）× 2.（多选）下列各组向量中，是平行向量的是 （　　）A.a＝（1，2，－2），b＝（－2，－4，4）B.c＝（1，0，0），d＝（－3，0，0）C.e＝（2，3，0），f＝（0，0，0）D.g＝（－2，3，5），h＝（16，－24，40）解析：ABC　对于A，有b＝－2a，所以a与b是平行向量；对于B，有d＝－3c，所以c与d是平行向量；对于C，f是零向量，与e是平行向量；对于D，不满足g＝λh，所以g与h不是平行向量. ?? ??答案：AB∥α或AB?α5.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为?　　　　?.??? ????? 02 ?空间向量的线性运算?? ?? ??? ｜练后悟通｜空间向量线性运算中的三个关键点 共线、共面向量定理的应用??? （2）判断点M是否在平面ABC内.? ｜解题技法｜证明三点共线和空间四点共面的方法比较 ?1.若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线，则m＋n＝?　　　　?.??答案：－3 ??答案：∈ 空间向量数量积的应用【例2】　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：?? （2）异面直线AG与CE所成角的余弦值.? ? ??A.a2? ?A.30°B.60°C.120°D.150°? 利用空间向量证明平行、垂直?（1）求证：EF∥平面A1B1BA； ? ? （2）求证