高考数学创新题小题汇编答案.doc

高考数学创新题小题汇编 1.在平面直角坐标系中，为坐标原点．定义、两点之间的“直角距离”为．若点，则= ；已知点，点是直线上的动点，的最小值为 ． ；． 先把直线方程改写成：，则直线是过定点且斜率为正的直线．设直线与轴交于点，与交于点，则构成直角三角形．如右图所示． 先考虑的情形：此时若介于间例如点，我们有：，也就是处在间时在点取最小值；若在延长线上例如点：，所以此时在点取最小值；若在延长线上例如点：，所以此时在点取最小值；又由于时，所以综合知； 类似地可以知道：若，则分别在延长线上、间、延长线上时，分别在点，点，点取最小值，又此时，故； 若则，在间任意一点都取到最小值． 2.在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”．则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 ；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 ． ，． 第一问，可直接利用折线距离的几何定义： 设直线与轴、轴分别交于点、：则，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，；当点在之间时，，，当点与点重合时取到等号． 第二问，类似第一问可知，当在单位圆上固定一点时，对于直线上任一点，当且仅当轴时取最小； 为了求水平距离的最小值，如图所示，过作轴的平行线交直线于，过作直线的垂线垂足为；则为定值，为直线的倾角的正弦： ∴；求水平距离的最小值即为求的最小值； 过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为，则当且仅当与重合时，取到最小值；此时过作轴的平行线交直线于，则也取到最小值； ∵，，∴，， ∴，当分别与重合时取到等号． 3在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个圆； ③到两点的“折线距离”之和为的点的集合是面积为的六边形； ④到两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合是两条平行线． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） ①③④． ①设点的坐标为，根据定义有，这是条线段围成的正方形，如上图所示．②自然错误．更一般地，易见到点的“折线距离”等于的点的集合同样也是以为中心半对角线长为的斜正方形，这是欧氏距离下圆的近似； ③设点的坐标为，根据定义有，整理得，画出其图像是上图所示的六边形，面积为．更一般地不难证明：若纵坐标相同，，则到两点的“折线距离”和为的点的集合也是类似的对称六边形，以为对称轴，以中点为对称中心，长为，高为，水平边长为，面积，这是欧氏距离下椭圆的近似；若横纵坐标均不同时情况将异常复杂． ④设点的坐标为，根据定义有，解得，这是两条竖直直线，如上图所示．更一般地不难证明：若纵坐标相同，，则到两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合也是两条竖直直线，与中点距离为，这是欧氏距离下双曲线的近似；若横纵坐标均不同时情况将异常复杂． 4.已知函数的定义域为R，若存在常数，对任意，有，则称为函数．给出下列函数：①；②；③；④；⑤是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数均有．其中是函数的序号为（ ） A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤ C． 时，时，即过原点的弦斜率有界． ①显然满足上面性质； ②，但时无界； ③，； ④，且时； ⑤如右图所示，是奇函数则；又恒成立，所以所有的弦斜率绝对值有界，自然也是过原点的弦的界，所以（也可以直接取得到）． ． 5.定义方程的实数根叫做函数的 “新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是 ． （） ，，∴； ，，∴； ，，∴，∵，∴ 因为在内单调递减且从趋向于，在区间内单调递增从趋向于，∴两者有唯一交点，即有唯一解； ∵，，∴ ∴ 6.若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①；②； ③；④． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是 ． ②④． ①不是拓扑，因为，，但； ②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足； ③不是拓扑，因为全集； ④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足． 7.平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数．下列函数： ①；②；③ ； ④； ⑤，其中是一阶格点函数的有 ．（填上所有满足题意的函数的序号） 答案：②④． ①：∵，∴在上，经过无穷个格点； ②：，当时易见为无理数，∴只经过这个格点； ③： 当时都为整数，∴经过无穷个格点； ④：；若，则，由于互素，