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四点共圆 2-15 题+
四点共圆 2-15 题+梅塞定理 7 题+一笔画定理 6 题
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?2010-2013
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四点共圆 2-15 题+梅塞定理 7 题+一笔画定理 6 题
一.选择题(共 2 小题)
A.B.C.D.如图,D、E、F 内分正△ ABC 的三边 AB、BC、AC 均为 1:2 两部分,AD、BE、CF 相交成的△ PQR
A.
B.
C.
D.
下面的图形,共有( )个可以一笔画(不重复也不遗漏;下笔后笔不能离开纸)
A.
A.0
B.1
C.2
D.3
二.填空题(共 2 小题)
如图,等边△ ABC 的边长为 2,F 为 AB 中点,延长 BC 至 D,使 CD=BC,连接 FD 交 AC 于 E,则四边形 BCEF
的面积为 .
公园小路如图,只要把A,B,C,D,E,F,G 七个点中的一口出且使游客走完全部小路而又不重复走.
三.解答题(共 24 小题)
求证:菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.
两处设为出口,可实现从一口进从另
如图,菱形ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O 点,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,求证:E,
F,G,H 四个点在以 O 为圆心的同一个圆上.
如图,BD,CE 是△ ABC 的两条高,F 和 G 分别是 DE 和 BC 的中点,O 是△ ABC 的外心.求证:AO∥FG.
已知半径为 r 的⊙O1 与半径为 R 的⊙O2 外离,直线 DE 经过 O1 切⊙O2 于点 E 并交⊙O1 于点 A 和点 D,直线CF 经过 O2 切⊙O1 于点 F 并交⊙O2 于点 B 和点 C,连接 AB、CD,
(1)[以下ⅰ、ⅱ两小题任选一题]
(ⅰ)求四边形 ABCD 的面积
(ⅱ)求证:A、B、E、F 四点在同一个圆上
(2)求证:AB∥DC.
如图,自△ ABC 的外接圆弧 BC 上的任一点 M,作 MD⊥BC 于 D,P 是 AM 上一点,作 PE⊥AC,PF⊥AB, PG⊥BC,E,F,G 分别在 AC,AB,AD 上.证明:E,F,G 三点共线.
如图,点 F 是△ ABC 外接圆点共圆.
的中点,点 D、E 在边 AC 上,使得 AD=AB,BE=EC.证明:B、E、D、F 四
如图,在△ ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E 为 AD 的中点,DF⊥BE,垂足为 F,CF 交 AD 于点 G. 求证:(1)∠CFD=∠CAD;
(2)EG<EF.
设 A1A2A3A4 为⊙O 内接四边形,H1,H2,H3,H4 依次为△ A2A3A4,△ A3A4A1,△ A4A1A2,△ A1A2A3 的垂心.求证:H1,H2,H3,H4 四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.
给出锐角△ ABC,以 AB 为直径的圆与 AB 边的高 CC′及其延长线交于 M,N.以 AC 为直径的圆与 AC 边的高
BB′及其延长线将于 P,Q.求证:M,N,P,Q 四点共圆.
(第 19 届美国数学奥林匹克)
如图.AD、AH 分别是△ ABC(其中 AB>AC)的角平分线、高线,M 点是 AD 的中点,△ MDH 的外接圆交CM 于 E,求证∠AEB=90°.
如图,⊙O 是△ ABC 的边 BC 外的旁切圆,D、E、F 分别为⊙O 与 BC、CA、AB 的切点.若 OD 与 EF 相交于 K,求证:AK 平分 BC.
设点 M 在正三角形三条高线上的射影分别是 M1,M2,M3(互不重合).求证:△ M1M2M3 也是正三角形.
给定锐角三角形PBC,PB≠PC.设 A,D 分别是边 PB,PC 上的点,连接 AC,BD,相交于点 O.过点 O 分别作 OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为 E,F,线段 BC,AD 的中点分别为 M,N.
若 A,B,C,D 四点共圆,求证:EM?FN=EN?FM;
若 EM?FN=EN?FM,是否一定有 A,B,C,D 四点共圆?证明你的结论.
⊙O2 与⊙O1 交于 A,B 两点,射线 O1A 交⊙O2 于 C 点,射线 O2A 交⊙O1 于 D 点.求证:点 A 是△ BCD 的内心.
△ ABC 为不等边三角形.∠A 及其外角平分线分别交对边中垂线于A1,A2,同样得到B1,B2,C1,C2.求证: A1A2=B1B2=C1C2.
定理 3 (梅涅劳斯(Menelaus)定理):
一条不经过△ ABC 任一顶点的直线和三角形三边 BC,CA,AB(或它们的延长线)分别交于P,Q,R.
设 P,Q,R 分别是△ ABC 的 BC,CA,AB 上的点.若,则 AP,BQ,CR 交于一点.
由矩形 ABCD 的外接
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