基本不等式第一课时.docx

基本不等式（第一课时） 授课教师：浙江省温州市第十四高级中学 陈芝飞教材：人教版高中数学必修 5 第三章 一、教学目标 通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得基本不等式，培养学生用数学的眼光观 察世界的素养 数学抽象与直观想象。 进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法 ，加深对基本不等式的认识，培养学生用数学思维分析世界的素养 逻辑推理论与数学运算。 通过“赵爽弦图”的引入传播数学文化，感受数学魅力；从直观猜想到严格论证体现数学的理性精神；通过不同角度理解基本不等式，发现数学的和谐美、对称美、简洁美。 借助例题尝试用基本不等式解决简单的最值问题，引导学生领会运用基本不等式 ab ? a ? b 的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体 2 会方法与策略． 二、教学重点和难点 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 ab ? 过程．  a ? b 的证明 2 难点：在探究基本不等式的过程中培养学生的数学核心素养，并能应用基本不等式求最大值与最小值． 三、教学过程： 1．由形及数，发现新知 师：先给大家展示一幅图。（展示北京国际数学家大会会标） 问题 1：同学们见过这个图形吗？它告诉我们什么信息？ 师：这个是什么图形？你感觉它像什么呀？ 这是由四个全等的直角三角形所围成的一个正方形，颜色的明暗使它看 上去像一个“风车”，代表中国人民热情好客。这种像“风车”一样的图标是2002 年 8 月 20—28在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的。该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何 是紧密结合、互不可分的． 问题 2：你知道如何用这张图证明勾股定理吗？ 在正方形 ABCD 中有4 个全等的直角三角形． 设直角三角形两条直角边长为a, b ， 于是，4 个直角三角形的面积之和S ? 2ab ， 1 小正方形的面积S ? (a ? b)2 2 所以大正方形的面积S ? S ? S ? 2ab ? (a ? b)2 ? a 2 ? b2 ． 1 2 进一步得到正方形 ABCD 的边长为 a 2 ? b 2 ． 问题 3：刚刚从等量关系得到了勾股定理，同学们能否仍然从面积的视角，得到不等关系呢？ 生：正方形 ABCD 的面积大于 4 个直角三角形的面积之和. 师：用数学式子加以表示？ 生： a 2 ? b 2 ? 2ab 师：大家认为如何？ 生： a 2 ? b 2 ? 2ab 师：什么时候取到等号呢？（教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件） 生： a ? b 的时候取到等号。 师：除了这个时候还有别的情况使得等号成立吗？ 生：没有了。 师：数学上把这种情况称做“当且仅当”。 （板书：若a, b ? R ? ，则a 2 ? b 2 ? 2ab （当且仅当a ? b 时，等号成立）） 2．代数证明，得出结论 根据上述几何背景，初步形成不等式结论： 若 a, b ? R ? ，则a 2 ? b 2 ? 2ab （当且仅当a ? b 时，等号成立）． 师：你能给出它的证明吗？ 证法（作差法）： a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2 ? 0 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ，当a ? b 时取等号． 师：通过证明我们发现，这个重要不等式的实质就是“实数平方的非负性”。在该过程中，可发现a,b 的取值可以是全体实数。 完善结论，得到重要不等式： 若 a, b ? R ，则a 2 ? b 2 ? 2ab （当且仅当a ? b 时，等号成立） 3.数学变换，探索新知 练习： （1） x ? 0, y ? 0, 比较4 x 2 ? 9 y2 与12 xy 的大小？ （2） a ? 0, b ? 0, a ? b ? 生： 4 x 2 ? 9 y2 ? (2 x)2 ? (3 y)2 ? 2(2 x)(3 y) ? 12 xy 师：数学变换是数学研究的一把利器。那么第二个练习谁来试试？ 生： a ? 0, b ? 0, a ? b ? ( a )2 ? ( b )2 ? 2 ab 师：很好，这个不等式我们习惯上把它写成： ab ? a ? b （ a, b ? R ?）， 2 并称这个不等式为“基本不等式” ．（板书基本不等式） 师：以上我们从几何图形的面积关系获得a 2 ? b 2 ? 2ab ，并结合数学变换得到基本不等式。能否利用不等式的性质，直接推导出这个不等式呢？让我们一起来分析一下。 运算推理，分析证明 证明：（分析法）要证 a ? b ? ab ， 2 只要证 a ? b ???， 只要