新高掌5立体几何与概率练习答案.docx

第1章 空间证明和计算 1.1几何法 同步练习 1 .【解析】如右图所示,取的中点,连接,则。设异面直线与所成角为,则等于,或等于的补角,即或。注意到,所以。设正四面体的棱长为2,则 ,在中,有 ,故选 B。 (参考【例 例 1.11】) 2.【解析】如右图所示，由三棱柱为正三棱柱可知底面为等边三角形。因为为的中点, 所以。又因为平面平面,平面平面,故平面。首先,;然后,点到的距离为; 最后,可求得 ，故选 C。 (参考【例 1.20】) 3.【解析】如右图所示,由平面可知,则, 即。在中,,因此长方体的体积 , 故选 。(参考【例例】) 4.【解析】长方体的体积为。由题意可知, 点到平面的距离为,因为点分别为所在棱的中点,所以,即四边形是菱形,所以被挖去的锥体 的体积为,即该模型所需原料的质量为,故填。(参考【例 1.20】) 5.【解析】如右图所示,设各边长度为2,点为的中点。设异面直线与所成的角为,由于,则等于,或等于的补角,即或。由于为等边三角形,可得,在中, 可得。又在中,可得,则在中, 由余弦定理可得 故选 D。 (参考【例 1.10 例 1.11】) 6. 【解析】如右图所示,因为,所以与平面所成角和与平面所成角相同。过作平面,则与平面所成角为。设正方体棱长为到面的距离为,由等体积法得, 即。又因为,所以。因此,则 故选 D。(参考【例1.15】) 7. 【解析】根据圆锥母线长相同可知又互相垂直,与圆锥底面所成角为,的面积为8,可得,即。设圆锥底面的圆心, 则底面圆半径,所以该圆锥的体积为,故填：。 8.【解析】 如右图所示,在等腰中,由和勾股定理可得。同理可得。设异面直线所成角为。连接, 取的中点,连接,由三角形的中位线可知,或。 然后分别求出的另两边边长,其中。在等腰中,由,可得,因此。在中,由余弦定理可得，则异面直线 所成角的余弦值是,故填：。(参考【例 例 】) 9.【解析】不妨设,则,要求与平面所成角,最关键之处在于过点作面的垂线,垂足落在面的具体位置是需要确定的。不妨取的中点, 设为,则 , 连接 , 因为为等腰三角形,故,因为 ,所以综合(1)(2)(3)可知 作 },垂足为点, 如右图所示, 综合(4)(5)可知平面,根据题意可知为与平面 所成角,因为与相似,可得,解得,则,故选。(参考【例 1.13】) 10. 【解析】 如右图所示, , 又， ,所以综合(1)(2)(3)可得 。又因为，平面 , 所以综合(1)(5)(6)可得 ,所以综合(4)(7)可得,同理可得,则,所成角即为与所成的角,由于为等边三角形,所以所成角为,故选A。(参考【例 1.12】) 同步练习 1.【解析】 (I) 因为平面平面,所以,又因为,平面平面,所以平面。 (II)由平面,可得,因为,所以,因为是的中点,所以,由(I)知,平面,所以三棱锥 的高,因此三棱锥的体积为 故三棱锥 的体积为 。(参考【例例1.22】) 2.【解析】(I)在等边中,因为为的中点, 所以 且 连接,如下图(a)所示,在等腰中,因为,所以且。在中,,因此结合(2)(3)(4)可得,即 }。又由,所以结合(1)(5)(6)可知平面。 (II) 作,垂足为,如下图(b)所示,又由(I)可得,所以平面。故的长为点到平面的距离。由题意可知,再由和余弦定理可得 可得再根据三角形等面积可得所以点到平面的距离为。(参考【例例1.22】) 3.【解?】(I) 连接 , 因为为的中点,所以。又因为平面平面,, 所以综合(1)(2)(3)(4)可得平面,则又因为 ,所以,且,因此综合(5)(6)(7)(8)可知平面,故。 (II) 取的中点为,连接,则四边形为平行四边形。因为平面,故,所以四边形为矩形。由于,所以平面,则平面平面,故在平面上的射影在直线上。连接交于点,则是直线与平面所成角,如右图所示。设,则在直角中,,可得,因此,故由余弦定理可知，因此与平面所成角的余弦值为。 (参考【例 1.14】) 4.【解析】(I) 连接交于点,如下图所示,因为,所以. 又因为四边形为菱形,所以 且 ,综合可得 ,又因为平面,所以。 (II) 由第(I)问可知平面且平面与平面重合,因此平面,故可以将求三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积,即 接下来我们只需求的面积和 的长度即可。因为在 中,,在中,可求得。又因为为的中点,所以，将后两式代入第一式可得三棱锥的体积为。(参考【例】) 同步练习 3 1.【解析】(I)如下图 (a) 所示,连接,因为,所以四边形为平行四边形,所以。又因为平面平面,所以平面。 (II) 由第(I)问可知,平面与平面共面,因此平面和平面所成角与平面和平面所成角相同。显然,为两平面的相交棱。如下图(b)所示,作,连接,因为平面,所以为平面