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专题09 二次函数的图象和性质
考向1 二次函数的图象和性质
【母题来源】(2021·浙江湖州)
【母题题文】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0),点P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线上不同于A,B的两个点,记△P1AB的面积为S1,△P2AB的面积为S2,有下列结论:①当x1>x2+2时,S1>S2;②当x1<2﹣x2时,S1<S2;③当|x1﹣2|>|x2﹣2|>1时,S1>S2;④当|x1﹣2|>|x2+2|>1时,S1<S2.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】不妨假设a>0,利用图象法一一判断即可.
【解答】解:方法一:不妨假设a>0.
①如图1中,P1,P2满足x1>x2+2,
∵P1P2∥AB,
∴S1=S2,故①错误.
②当x1=﹣2,x2=﹣1,满足x1<2﹣x2,
则S1>S2,故②错误,
③∵|x1﹣2|>|x2﹣2|>1,
∴P1,P2在x轴的上方,且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大,
∴S1>S2,故③正确,
④如图2中,P1,P2满足|x1﹣2|>|x2+2|>1,但是S1=S2,故④错误.
故选:A.
方法二:解:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0),
∴该抛物线对称轴为x=2,
当x1>x2+2时与当x1<2﹣x2时无法确定P1(x1,y1),P2(x2,y2)在抛物线上的对应位置,
故①和②都不正确;
当|x1﹣2|>|x2﹣2|>1时,P1(x1,y1)比P2(x2,y2)离对称轴更远,且同在x轴上方或者下方,
∴|y1|>|y2|,
∴S1>S2,故③正确;
当|x1﹣2|>|x2+2|>1时,即在x轴上x1到2的距离比x2到﹣2的距离大,且都大于1,
可知在x轴上x1到2的距离大于1,x2到﹣2的距离大于1,但x2到2的距离不能确定,
所以无法比较P1(x1,y1)比P2(x2,y2)谁离对称轴更远,故无法比较面积,故④错误;
故选:A.
【母题来源】(2021·浙江湖州)
【母题题文】如图,已知经过原点的抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0).
(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标;
(2)求直线AM的解析式.
【分析】(1)将A(2,0)代入抛物线解析式即可求出m的值,然后将关系式化为顶点式即可得出顶点坐标;
(2)设直线AM的解析式为y=kx+b(k≠0),将点A,M的坐标代入即可.
【解答】解:(1)∵抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0),
∴2×22+2m=0,
∴m=﹣4,
∴y=2x2﹣4x
=2(x﹣1)2﹣2,
∴顶点M的坐标为(1,﹣2),
(2)设直线AM的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵图象过A(2,0),M(1,﹣2),
∴,
解得,
∴直线AM的解析式为y=2x﹣4.
【母题来源】(2021·浙江杭州)
【母题题文】在直角坐标系中,设函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a≠0).
(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点,求函数的表达式,并写出函数图象的顶点坐标;
(2)写出一组a,b的值,使函数y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点,并说明理由.
(3)已知a=b=1,当x=p,q(p,q是实数,p≠q)时,该函数对应的函数值分别为P,Q.若p+q=2,求证:P+Q>6.
【分析】(1)考查使用待定系数法求二次函数解析式,属于基础题,将两点坐标代入,解二元一次方程组即可;
(2)写出一组a,b,使得b2﹣4ac>0即可;
(3)已知a=b=1,则y=x2+x+1.容易得到P+Q=p2+p+1+q2+q+1,利用p+q=2,即p=2﹣q代入对代数式P+Q进行化简,并配方得出P+Q=2(q﹣1)2+6≥6.最后注意利用p≠q条件判断q≠1,得证.
【解答】解:(1)由题意,得,
解得,
所以,该函数表达式为y=x2﹣2x+1.
并且该函数图象的顶点坐标为(1,0).
(2)例如a=1,b=3,此时y=x2+3x+1,
∵b2﹣4ac=5>0,
∴函数y=x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点.
(3)由题意,得P=p2+p+1,Q=q2+q+1,
所以 P+Q=p2+p+1+q2+q+1
=p2+q2+4
=(2﹣q)2+q2+4
=2(q﹣1)2+6≥6,
由条件p≠q,知q≠1.所以 P+Q>6,得证.
【母题来源】(2021·浙江嘉兴)
【母题题文】已知二次函数y=﹣x2+6x﹣5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标;
(2)当1≤x≤4时,函数的最大值和最小值分别为多少?
(3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n,若m﹣n=3,求t的值.
【分析】(1)解析式
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