新人教版高中数学选择性必修第一册第二章对称与最值问题培优练习题.docVIP

对称与最值问题 一、对称问题 1．点关于点对称 点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(x0＋x′,2)，,n＝\f(y0＋y′,2)，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2m－x0，,y′＝2n－y0.)) 2．点关于直线对称 设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直． 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A·\f(x0＋x′,2)＋B·\f(y0＋y′,2)＋C＝0，,A（y′－y0）－B（x′－x0）＝0，)) 解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标． 3．直线关于点对称 直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程． 4．直线关于直线对称 (1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． (2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解． 类型1　中心对称问题 　(1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P′的坐标； (2)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程． 【解】　(1)根据题意可知点A(a，b)为PP′的中点，设点P′的坐标为(x，y)， 则根据中点坐标公式，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(x＋x0,2)，,b＝\f(y＋y0,2)，)) 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x0，,y＝2b－y0.)) 所以点P′的坐标为(2a－x0，2b－y0). (2)方法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)， 且M1在直线3x－y－4＝0上， 所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0， 即3x－y－10＝0. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)， 则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4，2)， 点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1). 可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0， 即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行， 则可设l的方程为3x－y＋c＝0(c≠－4). 在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)， 则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋c＝0上， 所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 类型2　轴对称问题 　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程． 【解】　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3×\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)×3＝－1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7.)) 所以点P′的坐标为(－2，7). (2)解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x＋3，,y＝x－2，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2)，,y＝－\f(9,2)，)) 则点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2))) 在所求直线上． 在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0,2)＝3×\f(x0＋2,2)＋3，,\f(y0,x0－2)×3＝－1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(17,5)，,y0＝\f(9,5)．)) 点M′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5))) 也在所求直线上． 由两点式得