新人教版高中数学选择性必修第一册第二章3圆与圆的位置关系培优练习题.docVIP

2．5.2　圆与圆的位置关系 学习指导 核心素养 1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2．能用圆和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想． 1.逻辑推理、数学运算：圆与圆的位置关系的判断． 2．直观想象、数学运算：两圆相交及相切的问题． 知识点　圆与圆的位置关系 1．代数法 通过两圆方程组成的方程组的实数解的个数进行判断． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(圆C1方程,圆C2方程)) eq \o(――→,\s\up7(消元)) 一元二次方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交；,Δ＝0?内切或外切；,Δ＜0?内含或外离Ｗ．)) 2．几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系： 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆外离 0 dr1＋r2 两圆内含 d|r1－r2| 两圆相交 2 |r1－r2|dr1＋r2 两圆内切 1 d＝|r1－r2| 两圆外切 d＝r1＋r2 　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切？(2)圆C1与圆C2内含？ 【解】　对于圆C1，圆C2 的方程， 配方得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. (1)如果圆C1与圆C2外切， 则有 eq \r(（m＋1）2＋（－2－m）2) ＝3＋2， 即m2＋3m－10＝0， 解得m＝－5或m＝2. 故当m＝－5或2时，圆C1与圆C2外切． (2)如果圆C1与圆C2内含， 则有 eq \r(（m＋1）2＋（－2－m）2) 3－2， 即(m＋1)2＋(m＋2)21，整理得m2＋3m＋20， 解得－2m－1. 故当－2m－1时，圆C1与圆C2内含． 几何法判断两圆位置关系的步骤 (1)将两圆的方程化为标准方程． (2)求出两圆的圆心距d和半径r1，r2. (3)根据d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系作出判断． 　 1．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 解析：选B.圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0，故圆心坐标与半径分别为O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝ eq \r(5) ，r2－r1＝1，r1＋r2＝3，1＜ eq \r(5) ＜3，所以两圆相交． 2．圆A：x2＋y2＝1与圆B：x2－4x＋y2－5＝0的公共点个数为(　　) A．0 B．3 C．2 D．1 解析：选D.因为圆B：(x－2)2＋y2＝9，其圆心为B(2，0)，半径为3，圆A的圆心为A(0，0)，半径为1，所以圆心距为|AB|＝2，半径之差为2，所以两圆内切，只有一个公共点． 考点一　两圆相切问题 　已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，求圆C的方程． 【解】　设圆C的半径为r，又圆心距d＝ eq \r(（4－0）2＋（－3－0）2) ＝5，所以当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，所以圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 　若圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则m＝________． 解析：圆x2＋y2＝m的圆心坐标为(0，0)，半径r1＝ eq \r(m) ， 圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0的圆心坐标为(－3，4)，半径r2＝6.因为两圆内切，且圆心距d＝5， 所以|6－ eq \r(m) |＝5， 解得m＝1或m＝121. 答案：1或121 考点二　两圆相交问题 　已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 【解】　设两圆交点为A，B，则A，B两点的坐标均满足方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，①,x2＋y2－4x＋2y－11＝0.②)) ①－②，得3x－4y＋6＝0. 因为A，B两点坐标都满足此方程，所以3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． 易知圆C1的圆心为C1(－1，3)，半径r＝3. 又点C1到直线AB的距离d＝ eq \f(|－1×3－4×3＋6|,\r(32＋（－4）2)) ＝ eq \f(9,5) . 所以|AB|＝2 eq \r(r2－d2) ＝2× eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))\s\u