第45讲 二项式定理(解析版).docx

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第45讲 二项式定理 1.二项式定理 . 2.二项展开式的特点 (1)这个公式叫做二项式定理. (2)展开式:等号右边的多项式叫做的二项展开式,展开式中一共有项. (3)二项式系数:各项的系数()叫做二项式系数. (4)各项的次数和都等于二项式的幂指数. 3.二项展开式的通项公式 展开式的第项叫做二项展开式的通项,记作 4.二项式定理中,项的系数与二项式系数的区别 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与的值有关. 题型一:二项式定理 1.(全国高二课时练习)二项式的展开式中为常数项的是( ) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 【答案】C 【详解】 依题意,的展开式的通项为,, 令,得,即是二项式的展开式的常数项, 所以展开式中的常数项是第5项. 故选:C 2.(全国高二课时练习)等于( ) A.2n B.2n-1 C.3n D.1 【答案】C 【详解】 . 故选:C 3.(全国高二课时练习)若的展开式有16项,则自然数的值为( ) A.9 B.10 C.11 D.16 【答案】B 【详解】 解:因为的展开式共有项,所以,所以, 故选:B. 4.(包头市第六中学高二期中(理))若且,则实数m的值为(  ) A.1或﹣3 B.﹣1 C.﹣3 D.1 【答案】A 【详解】 因为 令,则; 令则, 又,所以,即,因此, 解得或 . 故选A 5.(全国高二课时练习)设为虚数单位,则展开式中的第三项为( ) A.-20i B.15i C.20 D.-15 【答案】D 【详解】 解:(1+i)6展开式中的第三项为. 故选:D 6.(陕西金台·高二期末(理))展开式中的第4项为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 解:展开式中的第4项为, 故选:D 7.(全国高三专题练习(理))二项式的展开式中的常数项为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 二项式的展开式的通项为:, 令,可得:, 所以常数项为, 故选:B. 8.(重庆市第六十六中学校高二月考)二项式的展开式中,常数项为( ) A.-4 B.4 C.-6 D.6 【答案】D 【详解】 二项式的展开式的通项公式为:, 令,解得, 所以常数项为, 故选:D 9.(全国高二课时练习)已知的展开式中各项的二项式系数的和为512,则这个展开式中的常数项为( ) A.-34 B.-672 C.84 D.672 【答案】B 【详解】 由已知,,则,所以. 令,得,所以常数项为, 故选:B. 10.(广东荔湾·西关外国语学校高三月考)展开式中的常数项为-160,则a=( ) A.-1 B.1 C.±1 D.2 【答案】B 【详解】 的展开式通项为, ∴令,解得, ∴的展开式的常数项为, ∴ ∴ 故选:B. 11.(赣榆智贤中学)二项式的展开式中常数项为60,则( ) A. B. C.2 D.3 【答案】A 【详解】 通项,, 令,得,得, 所以,即故, 故选:A. 12.(全国高二课时练习)的展开式的常数项为( ) A.6 B.10 C.15 D.16 【答案】D 【详解】 由题意得的展开式的通项为, 令,则, 所以的展开式的常数项为. 故选:D. 13.(全国高二课时练习)在的展开式中,项的系数为(  ) A. B. C.30 D.50 【答案】B 【详解】 表示5个因式的乘积,在这5个因式中, 有2个因式都选,其余的3个因式都选1,相乘可得含的项; 或者有3个因式选,有1个因式选,1个因式选1,相乘可得含的项, 故项的系数为, 故选B. 题型二:二项式系数 1.(全国高二课时练习)的展开式中含项的二项式系数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 的展开式的通项为:, 令可得, 所以含项的二项式系数为, 故选:D. 2.(全国高二课时练习)的展开式中常数项是( ) A.60 B.120 C.160 D.960 【答案】C 【详解】 的展开式的通项公式为, 令,则, 故常数项为第4项且为, 故选:C. 3.(全国高二课时练习)在的展开式中,第三项的二项式系数为6,则第四项的系数为( ) A.4 B.27 C.36 D.108 【答案】D 【详解】 解:的展开式中的第项为,由,得, 所以,故第四项的系数为. 故选:D. 4.(江苏高三月考)若二项式的展开式中所有项的系数和为,则展开式中二项式系数最大的项为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 令可得, 所以,展开式有项, 所以二项式展开式中二项式系数最大的为第项, ,

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