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第45讲 二项式定理
1.二项式定理
.
2.二项展开式的特点
(1)这个公式叫做二项式定理.
(2)展开式:等号右边的多项式叫做的二项展开式,展开式中一共有项.
(3)二项式系数:各项的系数()叫做二项式系数.
(4)各项的次数和都等于二项式的幂指数.
3.二项展开式的通项公式
展开式的第项叫做二项展开式的通项,记作
4.二项式定理中,项的系数与二项式系数的区别
二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与的值有关.
题型一:二项式定理
1.(全国高二课时练习)二项式的展开式中为常数项的是( )
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
【答案】C
【详解】
依题意,的展开式的通项为,,
令,得,即是二项式的展开式的常数项,
所以展开式中的常数项是第5项.
故选:C
2.(全国高二课时练习)等于( )
A.2n B.2n-1 C.3n D.1
【答案】C
【详解】
.
故选:C
3.(全国高二课时练习)若的展开式有16项,则自然数的值为( )
A.9 B.10 C.11 D.16
【答案】B
【详解】
解:因为的展开式共有项,所以,所以,
故选:B.
4.(包头市第六中学高二期中(理))若且,则实数m的值为( )
A.1或﹣3 B.﹣1 C.﹣3 D.1
【答案】A
【详解】
因为
令,则;
令则,
又,所以,即,因此,
解得或 .
故选A
5.(全国高二课时练习)设为虚数单位,则展开式中的第三项为( )
A.-20i B.15i C.20 D.-15
【答案】D
【详解】
解:(1+i)6展开式中的第三项为.
故选:D
6.(陕西金台·高二期末(理))展开式中的第4项为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
解:展开式中的第4项为,
故选:D
7.(全国高三专题练习(理))二项式的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
二项式的展开式的通项为:,
令,可得:,
所以常数项为,
故选:B.
8.(重庆市第六十六中学校高二月考)二项式的展开式中,常数项为( )
A.-4 B.4 C.-6 D.6
【答案】D
【详解】
二项式的展开式的通项公式为:,
令,解得,
所以常数项为,
故选:D
9.(全国高二课时练习)已知的展开式中各项的二项式系数的和为512,则这个展开式中的常数项为( )
A.-34 B.-672 C.84 D.672
【答案】B
【详解】
由已知,,则,所以.
令,得,所以常数项为,
故选:B.
10.(广东荔湾·西关外国语学校高三月考)展开式中的常数项为-160,则a=( )
A.-1 B.1 C.±1 D.2
【答案】B
【详解】
的展开式通项为,
∴令,解得,
∴的展开式的常数项为,
∴
∴
故选:B.
11.(赣榆智贤中学)二项式的展开式中常数项为60,则( )
A. B. C.2 D.3
【答案】A
【详解】
通项,,
令,得,得,
所以,即故,
故选:A.
12.(全国高二课时练习)的展开式的常数项为( )
A.6 B.10 C.15 D.16
【答案】D
【详解】
由题意得的展开式的通项为,
令,则,
所以的展开式的常数项为.
故选:D.
13.(全国高二课时练习)在的展开式中,项的系数为( )
A. B. C.30 D.50
【答案】B
【详解】
表示5个因式的乘积,在这5个因式中,
有2个因式都选,其余的3个因式都选1,相乘可得含的项;
或者有3个因式选,有1个因式选,1个因式选1,相乘可得含的项,
故项的系数为,
故选B.
题型二:二项式系数
1.(全国高二课时练习)的展开式中含项的二项式系数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
的展开式的通项为:,
令可得,
所以含项的二项式系数为,
故选:D.
2.(全国高二课时练习)的展开式中常数项是( )
A.60 B.120 C.160 D.960
【答案】C
【详解】
的展开式的通项公式为,
令,则,
故常数项为第4项且为,
故选:C.
3.(全国高二课时练习)在的展开式中,第三项的二项式系数为6,则第四项的系数为( )
A.4 B.27 C.36 D.108
【答案】D
【详解】
解:的展开式中的第项为,由,得,
所以,故第四项的系数为.
故选:D.
4.(江苏高三月考)若二项式的展开式中所有项的系数和为,则展开式中二项式系数最大的项为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
令可得,
所以,展开式有项,
所以二项式展开式中二项式系数最大的为第项,
,
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