2021-2023年高考数学真题分类汇编专题10解三角形解答题.docVIP

专题10 解三角形（解答题） 近三年高考真题 1．（2023?天津）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 【解析】（Ⅰ），，， 则； （Ⅱ），，， 则，化简整理可得，，解得（负值舍去）； （Ⅲ）， ，，， 则， 故， 所以． 2．（2022?天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【解析】解（1）因为，，， 由余弦定理可得， 解得：； （2），，所以， 由，可得， 由正弦定理可得，即， 可得， 所以； （3）因为，， 所以，， ，可得， 所以， 所以的值为． 3．（2022?乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）证明：． 【解析】（1）由， 又，， ，，即（舍去）或， 联立，解得； 证明：（2）由， 得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得：， 整理可得：． 4．（2021?天津）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【解析】（1）中，，， ，，． （2）中，由余弦定理可得． （3）由（2）可得， ，， ． 5．（2021?上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． （1）若，求、； （2）若，求． 【解析】（1）因为，可得， 又，可得， 由于，可得． （2）因为， 可得， 又， 可解得，，或，， 因为，可得，，可得为钝角， 若，，可得，可得， 可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去， 所以，由正弦定理，可得． 6．（2023?新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且． （1）若，求； （2）若，求，． 【解析】 （1）为中点，， 则， 过作，垂足为，如图所示： 中，，，，解得， ，， 故； （2）， ， ，， 则， ①， ，即②， 由①②解得， ， ，又， ． 7．（2023?新高考Ⅰ）已知在中，，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【解析】（1），， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 又，， 解得， 又，， ； （2）由（1）可知，， ， ， ，， 设边上的高为， 则， ， 解得， 即边上的高为6． 8．（2021?北京）在中，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长． 条件①； 条件②的周长为； 条件③的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（Ⅰ）， 由正弦定理可得，即， ， 当时，，即，不符合题意，舍去， ， ， 即． （Ⅱ）选①， 由正弦定理可得 ，与已知条件矛盾，故不存在， 选②周长为， ，， ， 由正弦定理可得，即， ， ， ，即，，， 存在且唯一确定， 设的中点为， ， 在中，运用余弦定理，， 即，， 边上的中线的长度． 选③面积为， ， ， ，解得， 余弦定理可得 ， ． 9．（2022?上海）如图，在同一平面上，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称，； （1）若点与点重合，求的大小； （2）在何位置，求五边形面积的最大值． 【解析】（1）点与点重合，由题意可得，，， 由余弦定理可得， 所以，在中，由正弦定理得， 所以，解得， 所以的大小为； （2）如图，连结，，，， 曲线上任意一点到距离相等， ， ，关于对称， 点在劣弧中点或劣弧的中点位置，， 则， 则五边形面积 ，其中， 当时，取最大值， 五边形面积的最大值为． 10．（2022?新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 【解析】（1），，． ， 化为：， ， ，， ， ，． （2）由（1）可得：，，，， 为钝角，，都为锐角，． ， ，当且仅当时取等号． 的最小值为． 11．（2022?浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的面积． 【解析】（Ⅰ）因为，所以，且， 由正弦定理可得：， 即有； （Ⅱ）因为， 所以，故， 又因为，所以， 所以； 由正弦定理可得：， 所以， 所以． 12．（2022?新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，． （1）求的面积； （2）若，求． 【解析】（1）， ， ， ， 解得：， ，，即， ， ， 解得：， ． 的面积为． （2）由正弦定理得：， ，， 由（1）得， 已知，，， 解得：． 13．（2022?乙卷（理））记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，，求的周长． 【解析】（1）证明：中，， 所以， 所以， 即， 所以， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以； （2）当，时，，，