第十三讲 圆锥曲线在高考小题中的考法探究(教师版).docx

圆锥曲线在高考小题中的考法探究 题型归纳 [题型一]曲线与轨迹 已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______. 【答案】如图，由题可知，，则， 又，，，又， 作，可得，，则在，，即，又，化简可得，同除以，得 解得双曲线的离心率为 方法总结 (1)椭圆定义：动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c为常数) (2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0). (3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M. [题型二] 三曲线定义法 已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______. 【答案】如图，由题可知，，则， 又，，，又， 作，可得，，则在，，即，又，化简可得，同除以，得 解得双曲线的离心率为 方法总结 (1)椭圆定义：动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c为常数) (2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0). (3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M. [题型三]双曲线渐近线 已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题首先可以结合题意绘出双曲线的图像，然后根据得出，根据双曲线的定义得出，再然后根据得出以及，根据得出，最后将点坐标代入双曲线中，通过化简即可得出结果. 【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像， 如图，过点作于点, 因为， 所以，， 因为，所以， 因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且， 所以，， 故，， 因为，所以，， 将代入双曲线中， 即，化简得，， ，，， 解得或（舍去），，， 则该双曲线的渐近线方程为，故选：A. 方法总结 与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ (λ≠0)． [题型四] 三大曲线焦半径 已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则____________． 【答案】 【详解】方法一： 方法二：抛物线的焦点的坐标为 斜率为且过焦点的直线方程为 联立抛物线方程，得，化简得 设两个交点坐标分别为 所以则 所以 方法总结 圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言 对于抛物线，则 常见抛物线的（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. [题型五] 三大曲线焦点弦 双曲线，，方向向量为的直线过点且与双曲线交于两点，,，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】 如图，由题意知D为BC的中点，且，所以．过点D作轴于，则．在中，，根据三角形的相似可得 ，∴．又，∴，∴， ∴．故点D的坐标为．设，由点差法可得，即，∴． ∴．选A． [题型六] 焦点三角形 已知，分别是椭圆的左?右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件用表示出，再结合椭圆定义并借助均值不等式计算作答. 【详解】依题意，，而， 则有，由椭圆定义知：， 当且仅当，即时取“=”， 于是有，则，又，即有， 所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：A [题型七]中点弦 抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ） A.1 B. C.2 D. 【答案】D如图所示，设| 连接 由抛物线定义，得| 在梯形 中， 由余弦定理得， 配方得 又 得到| 所以 ，即的最大值为 [题型八]焦点圆 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，，左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率为（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可求得的方程，设出点坐标，代入的方程，由，得，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案. 【详解】解：依题意，作图如下，，，，直线的方程为：，整理得：，设直线上的点，则，，， ，令， 则，由得：，于是， ，整理得：，又，， ，，