高等代数试题五.docx

向量空间 判断题平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法：k。a=a,kgR,作成实数域R上TOC\o1-5\h\z的向量空间.(). 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法：k。a=0,kgR,作成实数域R上的向量空间.(). 一个过原点的平面上所有向量的集合是匕的子空间.(). 所有n阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间M(R)的子空间.(). ((x,x，…，x)I^x=1,xgR｝为Rn的子空间.(). 12niii=1所有n阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间M(R)的子空间.(). ((x,0,…,0,x)Ix,xgR｝为Rn的子空间.(). 1n1n若a,a,a,a是数域F上的4维向量空间V的一组基，那么a,a,a+a,a+a1234122334是V的一组基.(). n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基.(). 且V中每一个向量都可由a1，a2,...,a).(10)设a1,a2,...,a是向量空间V中n个向量,线性表示，则 且V中每一个向量都可由a1，a2,...,a ). (11)设a1,a2,...,a是向量空间V的一个基,如果 (11)设a1,a2,...,a是向量空间V的一个基, 如果p1，02,...,p 与a,a,...,a 等价，则 P1，P2,…，P也是V的一个基. (). (12)x3关于基x3,x3+x,x2+1,x+1的坐标为(1,1,0,0). (). (13)设匕,V2,...,V为n维空间V的子空间， V=V1+V2+.+V.若 dimV+dimV+…+dimV=n,则V+V+…+V为直和. (). (14)设匕,V2,…，V为n维空间V的子空间，且 V=V1+V2+.+V.若 vnv=0,(V+v)nv=0,?.,(v+v+…+v)nv=0, 1212312S-1s 则V+V+…+V为直和. (). (15)设V,V,…，V为n维空间V的子空间，且V=V+k+...+V.若TOC\o1-5\h\zn(zV)={0},则V+V+.+V为直和.(). j丰i设V,V,…,V为n维空间V的子空间，且V=V+V+???+V.若n(V)={0},i丰j,则V1+V2+???+V为直和.(). 设V,V,…,V为n维空间V的子空间，且V=V+V+???+V.零向量表法是唯一12$12$的，贝0V+V+???+V为直和.(). 设气,a2,是向量空间V的一个基，f是V到W的一个同构映射，则W的一个基是f(a1),f(七),…，f(a.).(). 设V是数域F上的n维向量空间，若向量空间V与W同构，那么W也是数域F上的n维向量空间.(). 把同构的子空间算作一类，n维向量空间的子空间能分成n类.(). 答案⑴错误⑵错误⑶正确⑷错误(5错误(6正确⑺正确(8)正确⑼正确(10)错误(11)正确(12)错误(13)正确(14)正确(15)正确(16)错误(17)正确(18)正确(19正确(20错误 二填空题全体实对称矩阵，对矩阵的作成实数域R上的向量空间. 全体正实数的集合R+,对加法和纯量乘法a十b=ab,k。a=W,构成R上的向量空间.则此空间的零向量为―. ⑶全体正实数的集合R+，对加法和纯量乘法a十b=ab,k。a=ak，构成R上的向量空间. 则agR+的负向量为. 全体实二元数组对于如下定义的运算： (a,b为C,d=)-ac+b+dac),k(k-1)k。(ab)=kakb+a2),2构成实数域R上的向量空间.则此空间的零向量为. 全体实二元数组对于如下定义的运算： (a,b)B(c,d=)+ac+b+daC),k。(ab=kakb+a2),2构成实数域R上的向量空间.则(a,b)的负向量为. 数域F上一切次数＜n的多项式添加零多项式构成的向量空间F[x]维数等于. 任一个有限维的向量空间的基的，但任两个基所含向量个数是. 复数域C作为实数域R上的向量空间，维数等于,它的一个基为. 复数域C看成它本身上的向量空间，维数等于,它的一个基为. 实数域R上的全体n阶上三角形矩阵，对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间，它的维数等于. 向量=(0,0,0,1)关于基气=(1,1,0,1),a2=(2,1,3,1),a3=(1,1,0,0)a4=(0,1,-1,-1)的坐标为. x2+2x+3关于F[x]的一个基x3,x3+x,x2+1,x+1的坐标为. 三维向量空间的基气=(1,1,0),a2=(1,0,1),则向量P=(2,0,0) 在此基下的坐标为V和W是数域F上的两个向量空间，V到W的映射 V和W是数域F上的两个向量空间，V到W的映射f,就叫做一个同构映射.数域F上任一n维向量空间V都与向量空间同构.W3 满足条件 (16)设V的子空间W1,W次直和.答案co加法和数量乘法(2