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第七节 抛物线第八章 平面解析几何
考试要求:1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.了解抛物线的简单几何性质.
必备知识·回顾教材重“四基”01
一、教材概念·结论·性质重现1.抛物线的概念我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_____的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____,直线l叫做抛物线的_____.相等焦点准线当点F在直线l上时,与定点F和直线l距离相等的点的轨迹是过F与直线l垂直的直线.
2.抛物线标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)
标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离对称轴y=0x=0焦点坐标离心率e=1准线方程x=______x=______??????
标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦半径(其中P(x0,y0))|PF|=______|PF|=_______|PF|=_____|PF|=________开口方向向右向左向上向下????
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3.重要结论直线AB过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如图.?
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?34512××××
?34512
3.点M到点F(-4,0) 的距离比它到直线l:x-6=0的距离小2,则点M的轨迹方程为( )A.y2=16x B.y2=-16xC.y2=24x D.y2=-24x34512
?34512
?34512
5.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是________.6 解析:抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为点P到y轴的距离为4,所以点P到准线的距离为6,由抛物线定义知点P到焦点的距离为6.34512
关键能力·研析考点强“四翼”考点1 抛物线的标准方程——基础性02考点2 抛物线的定义及其应用——综合性考点3 抛物线的几何性质——应用性
?考点1 抛物线的标准方程——基础性
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1.忽视定义的应用:分析动点满足的几何特征,如果符合抛物线的定义,可以确定p后直接写出方程.2.设抛物线方程错误:混淆了抛物线的四种形式,未能正确设出抛物线的方程导致错误.
例1 (1)动圆与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,且和直线x=1相切,则动圆圆心的轨迹是( )A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线D 解析:设动圆的圆心为C,半径为r,则C到定圆A:(x+2)2+y2=1的圆心的距离等于r+1,而动圆的圆心到直线x=1的距离等于r,所以动圆的圆心到直线x=2的距离为r+1,即动圆圆心到定点(-2,0)和定直线x=2的距离相等,根据抛物线的定义知,动圆的圆心轨迹为抛物线.故选D.考点2 抛物线的定义及其应用——综合性
(2)已知M是抛物线x2 =4y上一点,F为其焦点,C为圆(x+1)2+(y-2)2 =1的圆心,则|MF|+|MC|的最小值为( )A.2 B.3 C.4 D.5
B 解析:设抛物线x2=4y的准线方程为l:y=-1,C为圆(x+1)2+(y-2)2=1的圆心,所以C的坐标为(-1,2).过M作l的垂线,垂足为E,根据抛物线的定义可知|MF|=|ME|,所以求|MF|+|MC|的最小值,就转化为求|ME|+|MC|的最小值.由平面几何的知识可知,当C,M,E在一条直线上时,此时CE⊥l,|ME|+|MC|有最小值,最小值为|CE|=2-(-1)=3.故选B.
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抛物线定义的应用技巧(1)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(2)与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.
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考向1 范围问题例2 已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点(点A在第一象限,点B在第四象限),与x轴交于点M(m,0).若线段AB的中点的横坐标为3,则m的取值范围是( )A.(0,3] B.(-∞,3] C.(0,6] D.(1,6]考点3 抛物线的几何性质——应用性
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1.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;
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