第六节 双曲线方程与性质（教师版）.docx

第六节 双曲线的方程与性质 知识框架 知识点归纳 1.双曲线的定义 (1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. (2)其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为两条射线； ③若a>c，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x 离心率 e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 [常用结论] 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a). 2.离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2)). 3.若渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0). 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 5.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. 6.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq \f(b2,tan \f(θ,2)). 题型归类 题型一 双曲线的定义及应用 例1 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 答案　B 解析　如图，连接ON， 由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点， 又O为F1F2的中点， 所以|MF2|＝2. 因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P， 由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|， 所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|， 所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线. (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________. 答案　2eq \r(3) 解析　不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)， 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(1,2)， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2eq \r(3). 感悟提升　在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系. 题型二 双曲线的标准方程 例2 (1已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2eq \r(5)，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　) A.x2－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1 C.eq \f(3x2,20)－eq \f(3y2,5)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1 答案　B 解析　由题可知c＝eq \r(5)，故a2＋b2＝5， 因为P(2，1)在C的一条渐近线上， 所以eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，解得a＝2，b＝1， 故双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1. (2)(2023·潍坊调研)已知双曲线的离心率e＝eq \f(\r(5),2)，且该双曲线经过点(2，2eq \r(5))，则该双曲线的标准方程为________________. 答案　eq