新人教版高中数学选择性必修第一册第二章4圆系方程问题培优练习题.docVIP

圆系方程问题 常见的圆系方程的几种类型 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中的a，b是定值，r是参数． (2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中的r是定值，a，b是参数． (3)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(Ax＋By＋C)＝0. (4)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此注意检验圆C2是否满足题意，以防丢解). 当λ＝－1时，圆系方程表示直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0(当两圆是同心圆时，此直线不存在). ①若两圆相交，则直线l为两圆公共弦所在的直线； ②若两圆相切，则直线l为公切线； ③若两圆相离，则直线l为与两圆圆心连线垂直的直线． 类型一　同心圆系方程 　与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0是同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是(　　) A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0 【解析】　圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝10.由于两圆同圆心，所以可设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，把x＝1，y＝－1代入，得(1－2)2＋(－1＋3)2＝r2，解得r2＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5，即x2＋y2－4x＋6y＋8＝0，故选B. 【答案】　B 类型二　过圆与圆交点的圆系方程 　圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________． 【解析】　方法一：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.)) 故圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点为A(－1，－1)，B(3，3)，线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)， 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－1＝－（x－1），,x－y－4＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.)) 所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为 eq \r(（3－3）2＋（3＋1）2) ＝4， 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法二：同方法一，求得两圆的交点坐标为A(－1，－1)，B(3，3). 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0). 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b－4＝0,（－1－a）2＋（－1－b）2＝r2,（3－a）2＋（3－b）2＝r2)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1，,r2＝16.)) 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法三：设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1).易求得所求圆的圆心坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))) ，将其代入方程x－y－4＝0，得λ＝－ eq \f(1,3) . 故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 【答案】　(x－3)2＋(y＋1)2＝16 　 1．已知圆系方程(x－m)2＋(y－2m)2＝5(m∈R，m为参数)，这些圆的公切线方程为________． 解析：由题意知圆心的轨迹方程为y＝2x，则这些圆的公切线与直线y＝2x平行，设圆的公切线方程为2x－y＋c＝0，则 eq \f(|c|,\r(5)) ＝ eq \r(5) ，所以c＝±5， 所以这些圆的公切线方程为2x－y±5＝0. 答案：2x－y±5＝0 2．已知点P(－1，－2)在圆C上，且圆C经过直线x＋y＝0与圆C1：x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，求圆C的方程． 解：方法一：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x2＋y2＋2x－4y－8＝0，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1)) 或 eq