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第45讲 二项式定理
1.二项式定理
.
2.二项展开式的特点
(1)这个公式叫做二项式定理.
(2)展开式:等号右边的多项式叫做的二项展开式,展开式中一共有项.
(3)二项式系数:各项的系数()叫做二项式系数.
(4)各项的次数和都等于二项式的幂指数.
3.二项展开式的通项公式
展开式的第项叫做二项展开式的通项,记作
4.二项式定理中,项的系数与二项式系数的区别
二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与的值有关.
【题型一:二项式定理】
1.(全国高二课时练习)二项式的展开式中为常数项的是( )
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
2.(全国高二课时练习)等于( )
A.2n B.2n-1 C.3n D.1
3.(全国高二课时练习)若的展开式有16项,则自然数的值为( )
A.9 B.10 C.11 D.16
4.(包头市第六中学高二期中(理))若且,则实数m的值为( )
A.1或﹣3 B.﹣1 C.﹣3 D.1
5.(全国高二课时练习)设为虚数单位,则展开式中的第三项为( )
A.-20i B.15i C.20 D.-15
6.(陕西金台·高二期末(理))展开式中的第4项为( )
A. B. C. D.
7.(全国高三专题练习(理))二项式的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
8.(重庆市第六十六中学校高二月考)二项式的展开式中,常数项为( )
A.-4 B.4 C.-6 D.6
9.(全国高二课时练习)已知的展开式中各项的二项式系数的和为512,则这个展开式中的常数项为( )
A.-34 B.-672 C.84 D.672
10.(广东荔湾·西关外国语学校高三月考)展开式中的常数项为-160,则a=( )
A.-1 B.1 C.±1 D.2
11.(赣榆智贤中学)二项式的展开式中常数项为60,则( )
A. B. C.2 D.3
12.(全国高二课时练习)的展开式的常数项为( )
A.6 B.10 C.15 D.16
13.(全国高二课时练习)在的展开式中,项的系数为( )
A. B. C.30 D.50
【题型二:二项式系数】
1.(全国高二课时练习)的展开式中含项的二项式系数为( )
A. B. C. D.
2.(全国高二课时练习)的展开式中常数项是( )
A.60 B.120 C.160 D.960
3.(全国高二课时练习)在的展开式中,第三项的二项式系数为6,则第四项的系数为( )
A.4 B.27 C.36 D.108
4.(江苏高三月考)若二项式的展开式中所有项的系数和为,则展开式中二项式系数最大的项为( )
A. B. C. D.
5.(江苏南京·高二期末)展开式中所有项的系数和为243,展开式中二项式系数最大值为( )
A.6 B.10 C.15 D.20
6.(辽宁丹东·高三二模)在的二项展开式中,仅有第4项的二项式系数最大,则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.(全国)已知的展开式中奇次项系数之和等于364,那么展开式中二项式系数最大的项是( )
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第6项
8.(全国高二课时练习)已知的展开式中奇数项的二项式系数之和是64,则它的展开式的中间项为( )
A. B. C.和 D.和
9.(吴江汾湖高级中学)已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则所有项的二项式系数和为( )
A. B. C. D.
10.(江苏如皋·高三模拟预测)的展开式的二项式系数之和为64,则展开式中的常数项为( )
A.20 B. C.60 D.
11.(河南平顶山·(理))的展开式中各项的二项式系数的和为256,则展开式中的系数为( )
A. B.504 C. D.70
【题型三:项的系数】
1.(全国高二课时练习)设,则等于( )
A.4 B.-71 C.64 D.199
2.(湖北襄城·襄阳五中高三月考)的展开式中所有的项的系数之和为( )
A. B. C. D.
3.(全国高二单元测试)的展开式中,项的系数是( )
A.56 B.-56 C.28 D.-28
4.(全国高二课时练习)二项式的展开式中含项的系数为( )
A.160 B.-160 C.80 D.-800
5.(汕头市潮南区陈店实验学校高二期中)的展开式中的系数为( )
A.40 B.80 C. D.
6.(金华市方格外国语学校高二月考)若,则( )
A.2 B. C.2 D.
7.(福建省宁
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