变质量动量定理.ppt

第一页，共三十页，2022年，8月28日 § 6－1 变质量质点的运动微分方程 1.变质量质点的运动微分方程 设作用于质点系的外力为 质点系在瞬时t的动量为 质点系在瞬时t+dt的动量为 根据动量定理 得 将上式展开得 第二页，共三十页，2022年，8月28日 略去高阶微量 并以dt除各项 得 或 （6－1） 式中 是微小质量dm在并入前 对于质点m得相对速度 令 （6－2） 则式（6－1）改写为 （6－3） 第三页，共三十页，2022年，8月28日 上式称为变质量质点的运动微分方程 式中m是变量 是代数量 因 具有力的量纲且与喷气方向相反 称为反推力 2.常用的几种质量变化规律 （1）质量按线性规律变化 设变化规律为 （6－4） 式中 皆为常数 该式代表质量随时间呈线性变化 由 知 其反推力为 （6－5） 可见 当 为常数时 反推力也为常量 且与 方向相反 第四页，共三十页，2022年，8月28日 （2）质量按指数规律变化 设变化规律为 （6－6） 式中 皆为常数 由 知 其反推力为 （6－7） 令 表示仅在反推力 作用下变质量质点的加速度 （6－8） 则当 为常量时 也是常量 即由反推力引起的加速度为常量 第五页，共三十页，2022年，8月28日 例 6－1 设火箭在真空中运动且不受任何外力作用 方向与火箭运功方向相反 单级火箭 其喷射出的气体相对于速度 的大小不变 此问题称齐奥尔科夫斯基第一类问题 对这一问题 变质量质点的运动微分方程（6－3） 在运动方向上的投影为 或 （a） 设初始时刻t=0时 将式（a）积分得 （b） 第六页，共三十页，2022年，8月28日 设火箭燃烧终了时质量为 速度为v 令 （c） 称N为质量比（有些资料取 为质量比） 令 （b） 称 为火箭的特征速度 它代表这一级火箭在初始速度 的基础上所能增加的速度 由式（d）可得 （c） 称此式为齐奥尔科夫斯基公式 它表明在 已知时 欲使火箭达到特征速度 所应具备的质量比 第七页，共三十页，2022年，8月28日 如果火箭在真空中且处于均匀重力场内 沿铅直方向向上运动 称为齐奥尔科夫斯基第二类问题 与第一问题的区别是有均匀重力作用 运动微分方程（6－3）在铅直方向上的投影为 （f） 设初始时刻t=0时 且 为常量 将式（f）积分得 （g） 第八页，共三十页，2022年，8月28日 例 6－2 单级火箭具有重大的缺欠 任何时候火箭的反推力不仅要使有效载荷产生加速度 二级火箭及多级火箭 而且也要使庞大的壳体产生同样的加速度 这就限制火箭速度的提高 多级火箭可以克服这一缺欠 那就是燃料装得越多其壳体也就越大 当前一级火箭燃料燃烧终了时 连同其壳体一起抛弃 后一级火箭开始工作 二级火箭由3部分组成 第一级火箭 第二级火箭和载荷 第九页，共三十页，2022年，8月28日 设第一级火箭总质量为 其内携带燃料的质量为 且 第二级火箭总质量为 其内携带燃料的质量为 载荷的质量为 设燃料从火箭喷出的相对速度 =常数 方向与火箭速度方向相反 每秒喷出的燃料质量也为常数 火箭由静止开始运动 略去重力 由例6.1式（b）可得 第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度为 （a） 当第二级火箭的燃料也全部喷射完时 速度为 （b） 第十页，共三十页，2022年，8月28日 如果取 则由式（a）及（b）可得 如果用单级火箭 仍采用上面的参数 所求得的速度就要低的多 设二级火箭的总质量（不含载荷质量 ） 为常量 则 的不同分配将影响火箭的速度 将式（a）代入式（b） 记 则 是 的函数 为求 的最大值 将其对 求导 并令 化简并只取M/P幂级数展开的首项 得 （d） 第十一页，共三十页，2022年，8月28日 满足式（c）的 将使 达到最大值 将式（c）代入式（a）（b） 略去 及 的高次项 可得 （d） 如果取 则 如果仍用 则由式（d）可得 这显然比 时的 要大得多 下面讨论多级火箭 设各级火箭的质量分别为 各级火箭内的燃料质量为 第十二页，共三十页，2022年，8月28日 载荷质量为 各级火箭喷射气体的相对速度方向都与火箭速度方向相反 大小分别