2024版高考数学总复习：数列解答题模板构建4高考中的数列问题课件.pptx

第七章　数列解答题模板构建(四)　高考中的数列问题?例 (2022·新高考Ⅰ卷 )记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)证明：＋…＋2.?[规范解答](1)解：已知a1＝1，是公差为的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝n＋，整理得Sn＝＋an①，???2分故当n≥2时，Sn－1＝②，①－②得：an＝nan－nan－1－an－1，故(n－1)an＝(n＋1)an－1，???????????????????4分化简得：＝＝，…，＝＝，所以＝，故an＝(首项符合通项)，所以an＝. ???????????????????????6分?(2)证明：由于an＝，所以＝＝2，?????????????????8分所以＋…＋＝2＝2×2. ??????????????????????10分第一步：利用等差数列的通项公式求出Sn与an的关系式；第二步：利用递推求差的方法导出数列的递推公式；第三步：利用累乘法求数列的通项公式；第四步：根据数列的特征，利用裂项相消法求和；第五步：利用放缩法证明不等式；第六步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤．类型一　等差数列与等比数列综合1．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)求证：a1＝b1；证明：设等差数列{an}的公差为d，由a2－b2＝a3－b3，得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，则d＝2b1.由a2－b2＝b4－a4，得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，所以a1＝b1.1．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．解：由(1)知，d＝2b1＝2a1，由bk＝am＋a1知，b1·2k-1＝a1＋(m－1)d＋a1，所以b1·2k-1＝b1＋(m－1)·2b1＋b1，即2k-1＝2m.又1≤m≤500，故2≤2k-1≤1 000，则2≤k≤10，故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素个数为9.?2．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1.(1)求证：{an}是等差数列；证明：由已知有：2Sn＋n2＝2nan＋n①，所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2(n＋1)an＋1＋n＋1②，②－①可得：2an＋1＝2(n＋1)an＋1－2nan－2n，整理得：an＋1＝an＋1，由等差数列的定义知{an}为等差数列．?2．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1.(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．解：由已知有＝a4·a9，由(1)知公差为1，故(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12，所以an＝－12＋(n－1)×1＝n－13，故可得：a1a2a3…a120，a13＝0，a140，故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，S12＝S13＝＝－78，故Sn的最小值为－78.类型二　数列求和1．在①a4是a3与a5－8的等差中项；②S2，S3＋4，S4成等差数列中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在公比为2的等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若________．?(1)求数列{an}的通项公式；解：选①：因为a3，a4，a5－8成等差数列，所以2a4＝a3＋a5－8，所以16a1＝4a1＋16a1－8，解得a1＝2，所以an＝2n.选②：因为S2，S3＋4，S4成等差数列，所以2(S3＋4)＝S2＋S4，即2＝，所以14a1＋8＝18a1，解得a1＝2，所以an＝2n.?1．在①a4是a3与a5－8的等差中项；②S2，S3＋4，S4成等差数列中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在公比为2的等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若_____．(2)若bn＝(n＋1)log2an，求数列的前n项和Tn.解：因为an＝2n，所以bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)，所以＝＝，所以Tn＝＋…＋＝＝1－＝.2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a1＝2，a2＋a3＋a4＝18.(1)求{an}的通项公式；解：因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，所以an＋1－an＝an－an－1，所以{an}为等差数列．设公差为d，因为a1＝2，a2＋a3＋a4＝18，所以3a1＋6d＝18，所以d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n，即an＝2n.?2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an