1-2-n阶行列式的定义.ppt

四、n阶行列式定义的其他形式 我们先以三阶行列式为例来看 对换之前的 对换之后的 可以看出，行标排列的逆序数加上列标排列的逆序数之和的奇偶性不变。 以 为例 交换前两个元素位置 行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换 定理2 阶行列式也可定义为 定理3 阶行列式也可定义为 其中 是两个 级排列， 为行标排列逆序数与 标排列逆序数的和. 其中 例1 试判断 和 是否都是六阶行列式中的项. 解 下标的逆序数为 所以 是六阶行列式中的项. 下标的逆序数为 所以 不是六阶行列式中的项. 例2 用行列式的定义计算 解 对角线法则 二阶与三阶行列式的计算 上节回顾 第二节 n阶行列式的定义 一、全排列及其逆序数 二、 对换 三、n阶行列式的定义 四、n阶行列式定义的其他形式 一、全排列及其逆序数 解 1 2 3 1 2 3 百位 十位 1 2 3 1 个位 1 2 3 共有 种放法. 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 3种放法 2种放法 1种放法 问题 定义 把 个不同的元素按某个次序排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 由引例 同理 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序。 例如 排列32514 中， 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 定义 一个排列 中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，记为 。 例如 排列321 中， 3 2 1 逆序数为2 0 故此排列的逆序数为0+1+2=3. 计算排列逆序数的方法 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 排列的奇偶性 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数，即算出排列中每个元素的逆序数， 则每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 方法 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 于是排列32514的逆序数为 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列. 解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 二、对换的定义 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的方法叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 1 2 3 4 5 1 4 3 2 5 1 3 2 4 5 1 3 4 2 5 对换与排列的奇偶性的关系 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明 先证相邻变换的情况. 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 设排列为 当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 再证一般对换的情形 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 三、n阶行列式的定义 三阶行列式 说明 （1）三阶行列式共有 项，即 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 定义 说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的; 2、 阶行列式是 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积; 4、