新人教版高中数学选择性必修第一册第三章抛物线焦点弦常见性质培优练习题.docVIP

抛物线焦点弦常见性质 如图，AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l. (1)x1x2＝ eq \f(p2,4) ，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(2p,sin2α) ，其中α为弦AB所在直线的倾斜角；当α＝90°时，线段AB叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的． (3) eq \f(1,|FA|) ＋ eq \f(1,|FB|) ＝ eq \f(2,p) . (4)以AB为直径的圆必与准线l相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (6)S△AOB＝ eq \f(p2,2sinα) (α为弦AB所在直线的倾斜角). (7)∠A′FB′＝90°. 对以上(1)～(4)证明如下： (1)设直线AB的方程为x＝my＋ eq \f(p,2) ，代入y2＝2px，可得y2－2pmy－p2＝0，因为Δ0， 所以y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm， x1x2＝ eq \f(y eq \o\al(2,1) ,2p) · eq \f(y eq \o\al(2,2) ,2p) ＝ eq \f(（y1y2）2,4p2) ＝ eq \f(（－p2）2,4p2) ＝ eq \f(p2,4) . (2)分别过点A，B作准线l的垂线AA′，BB′， 由抛物线的定义可知 |AF|＝|AA′|＝x1＋ eq \f(p,2) ， |BF|＝|BB′|＝x2＋ eq \f(p,2) ， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋ eq \f(p,2) ＋x2＋ eq \f(p,2) ＝x1＋x2＋p. 又因x1＋x2＝my1＋ eq \f(p,2) ＋my2＋ eq \f(p,2) ＝m(y1＋y2)＋p＝2pm2＋p， 当α＝90°时，m＝0，|AB|＝x1＋x2＋p＝2pm2＋p＋p＝2p＝ eq \f(2p,sin2α) ； 当α≠90°时，m＝ eq \f(1,tanα) ，|AB|＝ eq \f(2p,tan2α) ＋2p＝ eq \f(2p,sin2α) . 综上所述，|AB|＝ eq \f(2p,sin2α) . 又当α＝90°时，sinα取最大值，所以此时|AB|最短，即当α＝90°时，弦AB是所有焦点弦中最短的． (3) eq \f(1,|FA|) ＋ eq \f(1,|FB|) ＝ eq \f(1,x1＋\f(p,2)) ＋ eq \f(1,x2＋\f(p,2)) ＝ eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)（x1＋x2）＋\f(p2,4)) ＝ eq \f(2pm2＋p＋p,\f(p2,4)＋\f(p,2)（2pm2＋p）＋\f(p2,4)) ＝ eq \f(2,p) . (4)过M作准线l的垂线MM′， 在直角梯形ABB′A′中，|MM′|＝ eq \f(1,2) (|AA′|＋|BB′|)＝ eq \f(1,2) (|AF|＋|BF|)＝ eq \f(1,2) |AB|， 故圆心M到准线l的距离等于半径， 所以以AB为直径的圆必与准线l相切． [注]　对于性质(5)(6)(7)有能力的学生可自行证明． 　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． eq \f(9,2) C．5 D．6 【解析】　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设点A，B在准线上的射影分别为点D，C，作BE⊥AD于点E， 设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ， 则|AB|＝3m， 由抛物线的定义知 |AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m， 所以cos θ＝ eq \f(AE,AB) ＝ eq \f(1,3) ，所以sin2θ＝ eq \f(8,9) . 又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝ eq \f(2p,sin2θ) ＝ eq \f(9,2) . 【答案】　B 　设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A． eq \f(3\r(3),4) B． eq \f(9\r(3),8) C． eq \f(63,32) D． eq \f(9,4) 【解析】　方法一：由题意可知，直线AB的方程为y＝ eq \f(\r(3),3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4))) ，代入抛物线的方程可得4y2－12 eq \r(3) y－9＝0，且Δ0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3 eq \r(3) ，y1y2＝－ eq \f(9,4) ，故所求三