新人教版高中数学选择性必修第一册第二章倾斜角与斜率培优练习题.docVIP

2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 学习指导 核心素养 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程． 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式． 1. 数学抽象：理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2.直观想象：结合图形把握，确定直线位置的几何要素． 3．数学运算：利用公式计算直线的斜率． 知识点一　直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)范围：当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0°，直线倾斜角α的取值范围为0°≤α180°． (1)在倾斜角的定义中，要注意三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正向；③小于平角的非负角． (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 　(1)如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．0° D．无法计算 (2)(多选)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．45°－α C．α－135° D．135°－α 【解析】　(1)根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为90°＋45°＝135°.故选B. (2)如图①所示，当0°≤α135°时，l1的倾斜角是α＋45°，如图②所示，当135°≤α180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°. 【答案】　(1)B　(2)AC 求直线倾斜角的关键及两点注意 (1)关键：依据平面几何知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所成的角． (2)注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②直线倾斜角的取值范围是0°≤α180°. 　已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α90°　　　　　　 B．90°≤α180° C．90°α180° D．0°α180° 解析：选C.直线倾斜角的取值范围是0°≤α180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°α180°. 知识点二　直线的斜率 (1)斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α． 倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率． 直线的倾斜角是一个角(图形)，而斜率是一个实数值(数)，斜率的绝对值越大，直线的倾斜角越接近90°. (2)斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么可得斜率公式k＝ eq \f(y2－y1,x2－x1) ． 在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度． (1)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关，即在直线l上任取不同的两点P1，P2，其斜率均不变． (2)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换． 　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)C(－2，3)，D(2，－1)； (3)P(－3，1)，Q(－3，10). 【解】　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝ eq \f(5－3,4－2) ＝1，即 tan α＝1，又0°≤α180°，所以倾斜角α＝45°. (2)存在．直线CD的斜率kCD＝ eq \f(－1－3,2－（－2）) ＝－1，即 tan α＝－1，又0°≤α180°，所以倾斜角α＝135°. (3)不存在，因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，直线的倾斜角α＝90°. 解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k＝ eq \f(y2－y1,x2－x1) (x1≠x2)求解． 1．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为(　　) A． eq \r(3) B．－ eq \r(3) C． eq \f(\r(3),3) D．－ eq \f(\r(3),3) 解析：选B.因为直线的斜率k和倾斜角α的关系是k＝tan α(α≠90°)， 所以当倾斜角为120°时，直线的斜率k＝tan 120°＝－tan 60°＝－ eq \r(3) . 2．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)当m＝________时，直线l的斜率是1. 解析