新人教版高中数学选择性必修第一册第二章点到直线的距离公式两条平行直线间的距离.docVIP

2．3.3　点到直线的距离公式 2．3.4　两条平行直线间的距离 学习指导 核心素养 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式． 2.会求两条平行直线间的距离． 1.数学抽象、逻辑推理：点到直线的距离公式的推导过程． 2.数学运算：点到直线的距离、两平行线间的距离的计算． 知识点一　点到直线的距离 1．定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足． 2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝ eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) ． (1)运用公式前首先应把直线方程化为一般式． (2)注意公式特征，分子绝对值符号里面是把坐标(x0，y0)代入直线方程的左边得到的．当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立． 　求点P0(－1，2)到下列直线的距离． (1)2x＋y－10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y－1＝0. 【解】　(1)由点到直线的距离公式知 d＝ eq \f(|2×（－1）＋2－10|,\r(22＋12)) ＝ eq \f(10,\r(5)) ＝2 eq \r(5) . (2)因为直线方程可化为x＋y－2＝0， 所以d＝ eq \f(|－1＋2－2|,\r(12＋12)) ＝ eq \f(\r(2),2) . (3)方法一：由点到直线的距离公式得d＝ eq \f(|－1×0＋2－1|,\r(02＋12)) ＝1. 方法二：因为直线y－1＝0与x轴平行， 所以由下图知d＝|2－1|＝1. 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点P(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1 B． eq \r(3) C．2 D． eq \r(5) 解析：选D.d＝ eq \f(|0＋2×0－5|,\r(12＋22)) ＝ eq \r(5) . 2．已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C． eq \r(2) D．± eq \r(2) 解析：选D.由题意，得 eq \f(|a－1＋1|,\r(12＋（－1）2)) ＝1，即|a|＝ eq \r(2) ，所以a＝± eq \r(2) . 知识点二　两条平行直线间的距离 1．定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝ eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) ． 使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般式，二是两直线方程中x，y的系数分别相同． 　(1)直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0间的距离是________． (2)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于 eq \f(\r(5),5) 的直线方程为________． 【解析】　(1)6x＋8y＋6＝0可化为3x＋4y＋3＝0，所以直线3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋3＝0之间的距离d＝ eq \f(|－12－3|,\r(32＋42)) ＝ eq \f(15,5) ＝3. (2)因为所求与直线2x＋y＋1＝0的距离为 eq \f(\r(5),5) ， 所以可得所求直线与已知直线平行， 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)， 所以d＝ eq \f(|c－1|,\r(22＋12)) ＝ eq \f(\r(5),5) ，解得c＝0或c＝2， 故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 【答案】　(1)3　(2)2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0 求两平行直线间的距离有两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离公式． 1．若两条平行直线3x－4y＋1＝0与ax－8y＋c＝0间的距离为3，则a＝________，c＝________． 解析：由题意得3×(－8)－(－4)×a＝0.所以a＝6. 直线3x－4y＋1＝0，即6x－8y＋2＝0. 由平行线间的距离公式得 eq \f(|2－c|,\r(62＋（－8）2)) ＝3. 所以|2－c|＝30， 即c＝－28或32. 答案：6　－28或32 2．(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程； (2)两平行直线l1，l2分别过P1(1，0)，P2