初中数学全等三角形精讲.docx

数学三角形精讲 ［知识点归纳总结］ 三角形的三边之间的关系 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于 180°。 三角形全等的条件 三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。 全等三角形的性质 全等三角形的对应角相等，对应边相等。 三角形的外角性质 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 专题总复习（一） 全等三角形、轴对称 三、知识点梳理： 知识点一：全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 知识点二：全等三角形的性质. （1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等. 知识点三：判定两个三角形全等的方法. （1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只对直角三形来说） 知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律. ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角. ③有公共边的，公共边一定是对应边.④有公共角的，公共角一定是对应角. ⑤有对顶角的，对顶角是对应角. ⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.知识点五：找全等三角形的方法. 一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法） 可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等. 可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等. 如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形. 知识点六：角平分线的性质及判定. 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上. 三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等. 知识点七：证明线段相等的方法.（重点） （1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）（2）证明两个三角形全等，则对应边相等 （3）借助中间线段相等. 知识点八：证明角相等的方法.（重点） （1）对顶角相等；（2）同角或等角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；（4）角平分线的定义； （5）垂直的定义；（6）全等三角形的对应角相等； （7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和. 知识点九：全等三角形中几个重要的结论. （1）全等三角形对应角的平分线相等；（2）全等三角形对应边上的中线相等； （3）全等三角形对应边上的高相等. 知识点十：三角形中常见辅助线的作法.（重难点） 延长中线构造全等三角形（倍长线段法）； 引平行线构造全等三角形； 作垂直线段（或高）； 取长补短法（截取法）. 【典型例题】 DF例 1. 已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，D、E、F 分别在 AB、BC、CA 上，且 BD D F ＝CE，∠DEF＝∠B，图中是否存在和△BDE 全等的三角形？说明理由。解：△CEF≌△BDE 理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C 又∵∠DEC＝∠B＋∠BDE ∴∠DEF＋∠CEF＝∠B＋∠BDE ∵∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE ?∠BDE ? ∠CEF（已证） ?? ?BD ? CE（已知） ? ??∠B ? ∠C（已证） ? ∴△CEF≌△BDE（ASA） B E C 例 2. 已知：AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，BF＝DE，则AB∥CD，为什么？ 解：理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC ∴∠DEC＝∠BFA＝90° 在 Rt△DEC 和Rt△BFA 中 ?CD ? AB（已知） ??BF ? DE（已知） ? ∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL） ∴∠DCE＝∠BAF ∴CD∥AB 例 3. 用两个全等的等边△ABC 和△ACD 拼成一个四边形 ABCD，把一个含 60°角的三角尺与这个四边形叠合， 使三角尺的 60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转，问：当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD 相交于E、F 时，通过观察或测量BE、CF 的长度，你能得出什么结论？ 并证明你的结论。 解：结论：BE＝CF 理由：∵△ABC、△ACD 为等边三角形 ∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∠BAC＝60° 又∵∠1＋∠EAC＝60°，∠2＋∠EAC＝60° ∴∠1＝