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专题07平面解析几何(填空题)
近三年高考真题
知识点1:圆的方程
1.(2022?甲卷(文))设点在直线上,点和均在上,则的方程为.
【答案】.
【解析】由点在直线上,可设,
由于点和均在上,圆的半径为,
求得,可得半径为,圆心,
故的方程为,
故答案为:.
2.(2022?乙卷(文))过四点,,,中的三点的一个圆的方程为.
【答案】(或或或.
【解析】设过点,,的圆的方程为,
即,解得,,,
所以过点,,圆的方程为.
同理可得,过点,,圆的方程为.
过点,,圆的方程为.
过点,,圆的方程为.
故答案为:(或或或.
知识点2:直线与圆的位置关系
3.(2022?甲卷(理))若双曲线的渐近线与圆相切,则.
【答案】.
【解析】双曲线的渐近线:,
圆的圆心与半径1,
双曲线的渐近线与圆相切,
,解得,舍去.
故答案为:.
4.(2022?新高考Ⅱ)设点,,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则的取值范围是.
【答案】,.
【解析】点,,,所以直线关于对称的直线的斜率为:,所以对称直线方程为:,即:,
的圆心,半径为1,
所以,得,解得,.
故答案为:,.
知识点3:圆与圆的位置关系
5.(2022?新高考Ⅰ)写出与圆和都相切的一条直线的方程.
【答案】(填,都正确).
【解析】圆的圆心坐标为,半径,
圆的圆心坐标为,半径,
如图:
,两圆外切,由图可知,与两圆都相切的直线有三条.
,的斜率为,设直线,即,
由,解得(负值舍去),则;
由图可知,;与关于直线对称,
联立,解得与的一个交点为,在上取一点,
该点关于的对称点为,,则,解得对称点为,.
,则,即.
与圆和都相切的一条直线的方程为:
(填,都正确).
故答案为:(填,都正确).
知识点4:轨迹方程及标准方程
6.(2023?北京)已知双曲线的焦点为和,离心率为,则的方程为.
【答案】.
【解析】根据题意可设所求方程为,,
又,解得,,,
所求方程为.
故答案为:.
知识点5:椭圆的几何性质
7.(2022?新高考Ⅱ)已知直线与椭圆在第一象限交于,两点,与轴、轴分别相交于,两点,且,,则的方程为.
【答案】.
【解析】设,,,,线段的中点为,
由,,
相减可得:,
则,
设直线的方程为:,,,,,,
,,,
,解得,
,,化为:.
,,解得.
的方程为,即,
故答案为:.
8.(2021?浙江)已知椭圆,焦点,,.若过的直线和圆相切,与椭圆的第一象限交于点,且轴,则该直线的斜率是 .
【答案】.
【解析】直线斜率不存在时,直线与圆不相切,不符合题意;
由直线过,设直线的方程为,
直线和圆相切,
圆心到直线的距离与半径相等,
,解得,
将代入,可得点坐标为,
,
,,
.
故答案为:.
知识点6:双曲线的几何性质
9.(2021?乙卷(理))已知双曲线的一条渐近线为,则的焦距为.
【答案】4.
【解析】根据题意,双曲线的一条渐近线为,
则有,解可得,
则双曲线的方程为,则,
其焦距;
故答案为:4.
10.(2021?乙卷(文))双曲线的右焦点到直线的距离为.
【答案】.
【解析】双曲线的右焦点,
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为:.
11.(2022?上海)双曲线的实轴长为.
【答案】6
【解析】由双曲线,可知:,
所以双曲线的实轴长.
故答案为:6.
12.(2022?北京)已知双曲线的渐近线方程为,则.
【答案】.
【解析】双曲线化为标准方程可得,
所以,双曲线的渐近线方程,
又双曲线的渐近线方程为,
所以,解得.
故答案为:.
13.(2021?新高考Ⅱ)已知双曲线的离心率,则该双曲线的渐近线方程为.
【答案】.
【解析】双曲线的方程是,
双曲线渐近线为
又离心率为,可得
,即,可得
由此可得双曲线渐近线为
故答案为:
知识点7:抛物线的几何性质
14.(2023?乙卷(文))已知点在抛物线上,则到的准线的距离为.
【答案】.
【解析】点在抛物线上,
则,解得,
由抛物线的定义可知,到的准线的距离为.
故答案为:.
15.(2023?天津)过原点的一条直线与圆相切,交曲线于点,若,则的值为.
【答案】6.
【解析】如图,
由题意,不妨设直线方程为,即,
由圆的圆心到的距离为,
得,解得,
则直线方程为,
联立,得或,即.
可得,解得.
故答案为:6.
16.(2021?新高考Ⅰ)已知为坐标原点,抛物线的焦点为,为上一点,与轴垂直,为轴上一点,且.若,则的准线方程为.
【答案】.
【解析】法一:由题意,不妨设在第一象限,则,,,.
所以,所以的方程为:,
时,,
,所以,解得,
所以抛物线的准线方程为:.
法二:根据射影定理,可得,可得,解得,
因此,抛物线的准线方程为:.
故答案为:.
知识点8:弦长问题
17.(2022?天津)若直线与圆相交所得的弦长为,则.
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