第十节 圆锥曲线中的定值问题（原卷版）.docx

第十节 圆锥曲线中的定值问题 题型归类 题型一　长度或距离为定值 例1 (2023·郑州模拟)已知点F(0，1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的eq \f(1,2). (1)求曲线C的方程； (2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于点M，N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：eq \f(|FH|,|MN|)为定值． (1)解　设P(x，y)，由已知得eq \r(x2＋（y－1）2)＝eq \f(1,2)|y－4|， 整理得eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1， 此即为曲线C的方程． (2)证明　经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1， 与曲线C方程联立，消去y整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0， Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)＞0恒成立， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则|MN|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)×eq \f(\r(Δ),4＋3k2)＝eq \f(12（1＋k2）,4＋3k2)，x1＋x2＝－eq \f(6k,4＋3k2)， 设线段MN的中点为T(x0，y0)，则x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝－eq \f(3k,4＋3k2)，y0＝kx0＋1＝eq \f(4,4＋3k2)， 线段MN的中垂线的斜率为－eq \f(1,k)， 其方程为y－eq \f(4,4＋3k2)＝－eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3k,4＋3k2)))， 令x＝0，解得y＝eq \f(1,4＋3k2)， 即为点H的纵坐标， ∴|FH|＝1－eq \f(1,4＋3k2)＝eq \f(3（1＋k2）,4＋3k2)， ∴eq \f(|FH|,|MN|)＝eq \f(\f(3（1＋k2）,4＋3k2),\f(12（1＋k2）,4＋3k2))＝eq \f(1,4)(为定值)． 感悟提升　探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值． 训练1 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点． (1)若p＝2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程． (2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：eq \f(2|MN|2,|FN|)为定值． (1)解　由题意知直线l的斜率存在且不为0， 故设直线l的方程为x－1＝t(y－1) 即x＝ty＋1－t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋1－t，,y2＝4x，))得y2－4ty－4＋4t＝0， ∴Δ＝16t2＋16－16t＝16(t2－t＋1)＞0， y1＋y2＝4t，∴4t＝2，即t＝eq \f(1,2). ∴直线l的方程为2x－y－1＝0. (2)证明　∵抛物线C：y2＝2px(p＞0)， ∴焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)). 由题意知直线l的斜率存在且不为0， ∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为x＝ty＋eq \f(p,2)(t≠0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pty－p2＝0， ∴y1＋y2＝2pt，Δ＝4p2t2＋4p2＞0. ∴x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p， ∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(pt2＋\f(p,2)，pt)). ∴MN的方程为y－pt＝－teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－pt2－\f(p,2))). 令y＝0，解得x＝pt2＋eq \f(3p,2)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(pt2＋\f(3p,2)，0))， ∴|MN|2＝p2＋p2t2，|FN|＝pt2＋eq \f(3p,2)－eq \f(p,2)＝pt2＋p， ∴eq \f(2|MN|2,|FN|)＝eq \f(2（p2＋p2t2）,pt2＋p)＝2p，为定值． 题型二　斜率或代数式为定值 例2 如图，椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)且离心率为eq \f(\r(2),2). (1)求椭圆E的方程； (2)经过点(1，1)，且斜率为k的