23 平面向量的概念及线性运算（原卷附答案）.docx

考向23 平面向量的概念及线性运算 1.解决向量的概念问题应关注以下七点： (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关． (4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． (5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (6)非零向量与的关系：是方向上的单位向量． (7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小 2.平面向量线性运算问题的求解策略： (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果. 共线向量定理 向量与共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得. 共线向量定理的主要应用： (1)证明向量共线：对于非零向量，，若存在实数，使，则与共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 1．向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 1．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）在凸四边形中，，则以下结论正确的是（???????） A． B．四边形为菱形 C． D．四边形为平行四边形 2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（???????） A．且 B． C． D． 3．（2022·全国·高三专题练习）已知下列结论：①；②；③；④⑤若 ，则对任一非零向量有；⑥若，则与中至少有一个为 ；⑦若与是两个单位向量，则.则以上结论正确的是（???????） A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤ 4．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（???????） A． B． C． D． 5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（???????） A． B． C． D． 6．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如图，中，，，点E是的三等分点，则（???????） A． B． C． D． 1．（2022·广东·模拟预测）等腰中，，D为线段上的动点，过D作交于E．过D作交于F，则（???????） A． B． C． D． 2．（2022·湖南怀化·一模）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（???????） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2022·江苏江苏·一模）平面内三个单位向量，，满足，则（???????） A．，方向相同 B．，方向相同 C．，方向相同 D．，，两两互不共线 4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在中，点D在边上，且，若，则