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考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性
1.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称;
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义,则有;
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称,则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记,,则.
(6)运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,如.
对于运算函数有如下结论:奇奇=奇;偶偶=偶;奇偶=非奇非偶;
奇奇=偶;奇偶=奇;偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来:内偶则偶,两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数: = 1 \* GB3 ①函数或函数.
= 2 \* GB3 ②函数.
= 3 \* GB3 ③函数或函数
= 4 \* GB3 ④函数或函数.
注意:关于 = 1 \* GB3 ①式,可以写成函数或函数.
偶函数: = 1 \* GB3 ①函数.
= 2 \* GB3 ②函数.
= 3 \* GB3 ③函数类型的一切函数.
④常数函数
2.周期性技巧
3.函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数有两条对称轴,,则函数是周期函数,且;
(2)若函数的图象有两个对称中心,则函数是周期函数,且;
(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心,则函数是周期函数,且.
4.对称性技巧
(1)若函数关于直线对称,则.
(2)若函数关于点对称,则.
(3)函数与关于轴对称,函数与关于原点对称.
1.(1)如果一个奇函数在原点处有定义,即有意义,那么一定有.
(2)如果函数是偶函数,那么.
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性
3.函数周期性常用结论
对定义域内任一自变量的值:
(1)若,则.
(2)若,则.
(3)若,则.
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数是偶函数,则函数的图象关于直线对称.
(2)若对于上的任意都有或,则的图象关于直线对称.
(3)若函数是奇函数,则函数的图象关于点中心对称.
5.两个奇偶函数四则运算的性质
(1)两个奇函数的和仍为奇函数;
(2)两个偶函数的和仍为偶函数;
(3)两个奇函数的积是偶函数;
(4)两个偶函数的积是偶函数;
(5)一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
1.函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
判断与的关系时,也可以使用如下结论:如果或,则函数为偶函数;如果或,则函数为奇函数.
注意:由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是:对于定义域内的任意一个,也在定义域内(即定义域关于原点对称).
2.函数的对称性
(1)若函数为偶函数,则函数关于对称.
(2)若函数为奇函数,则函数关于点对称.
(3)若,则函数关于对称.
(4)若,则函数关于点对称.
3.函数的周期性
(1)周期函数:
对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
1.(2022·全国·模拟预测(理))若幂函数满足,则下列关于函数的说法正确的是(???????)
①不是周期函数?????????????②是单调函数?????????????③关于原点对称?????????????④关于点对称
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
2.(2022·吉林吉林·模拟预测(文))定义在R上的函数满足,且函数为奇函数.当时,,则(???????)
A.-2 B.2 C.3 D.
3.(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(文))已知函数,若,则(???????)
A. B. C. D.
4.(2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模(文))若函数满足,且当时,,则(???????)
A. B.10 C.4 D.2
5.(2022·江西省丰城中学模拟预测(文))已知定义域为的奇函数,则的值为(???????)
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
6.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(理))已知函数,若是奇函数,则实数a=______.
7.(2022·全国·模拟预测)已知函数,①,②,请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为_
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