最优截断切割问题qxg.doc

第四讲：图论建模案例 DATE \@ M/d/yyyy 3/24/2009 PAGE 1/ NUMPAGES 17 Xiaogang QI(齐小刚) Address: P.O.Box 68, No.2 Taibai South Rd.,Xidian University, Xian, China Tel：86-29 Email：qixiaogang@ 西安电子科技大学 西安电子科技大学 理学院 主讲：齐小刚 副教授 Email：qixiaogang@ 2009年3月 最优截断切割问题 问 题 从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少. 假 设 １、假设水平切割单位面积的费用为r，垂直切割单位面积费用为1； ２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e； ３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割. 模型的建立与求解 设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工. 由此准则,只需考虑 种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式. 1、e=0 的情况 为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造有向赋权图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z. 图G(V,E)的含义为： (1) 空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.例如：V24(2,1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀，上下方向上已被切两刀，即面M1、M2、M3、M5、M6均已被切割.顶点V1(0,0,0) 表示石材的最初待加工状态，顶点V27(2,2,2)表示石材加工完成后的状态. (2) G的弧（Vi,Vj）表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Vi经一次切割变为状态Vj，即当且仅当xi+yi+zi+1=xj+yj+zj时，Vi(xi,yi,zi)到Vj(xj,yj,zj)有弧(Vi,Vj)，相应弧上的权W(Vi,Vj)即为这一切割过程的费用. W(Vi,Vj)=(xj-xi)(bici)+(yj-yi)(aici)+(zj-zi)(aibi)r 其中，ai、bi、ci分别代表在状态Vi时，长方体的左右面、上下面、前后面之间的距离. 例如，状态V5（1，1，0），a5 = a0-u1,b5 = b0-u3,c5 = c0;状态V6（2，1，0），W(V5，V6) ＝（b0-u3)c0 (3)根据准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切M1、M3、M5中的某个面，在图2中分别对应的弧为( V1,V2)，(V1,V4)，(V1,V10). 图2中从V1到V27的任意一条有向道路代表一种切割方式.从V1到V27共有90条有向道路，对应着所考虑的90种切割方式.V1到V27的最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方式. 实例：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、145、19 和3、2、4，两者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9，则边距如下表： u1 u2 u3 u4 u5 u6 6 1 7 55 6 9 r=1时，求得最短路为V1－V10－V13－V22－V23－V26－V27，其权为374. 对应的最优切割排列为M5－M3－M6－M1－M4－M2，费用为374元.