4.4 数学归纳法 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(学生版).docx

数学归纳法 1 数学归纳法的概念 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n=n0 (2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N* , k≥n0)时命题成立”为条件，推出 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法 PS 用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可. 2 数学归纳法的运用 数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，比如：与正整数n有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等. 在运用数学归纳法证明时要注意以下几点 ① 第一步归纳奠基中的n0不一定是1 ② 当证明从n=k到 ③ 在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在n=k+1时的式子中凑出n=k的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论 ④ 要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想. 【题型一】 对数学归纳法的理解 【典题1】用数学归纳法证明“2nn+2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值 【典题2】用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除” A．假设n=k(k∈N*) B．假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+1命题成立 C．假设n=2k+1(k∈N*)) D．假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立 【典题3】 用数学归纳法证明：1+12+ n=k+1成立时，左边增加的项数是 . 巩固练习 1 (★) 用数学归纳法证明不等式12+13 A．第一步应该验证当n=1时不等式成立 B．从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是12 C．从“n=k到n=k+1”左边需要增加(2k-1 D．从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项 2 (★)用数学归纳法证明2n≥n2 A．n=k≥2时，2k≥k2 B C．n=k≥4时，2k≥k2 D． 3(★) 用数学归纳法证明“1n+1+1n+2+1n+3+???+1 A．13k+4 B．13k+4-1k+1 C．1 4(★) 用数学归纳法证明“(3n+1)×7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n=k时命题成立之后，需证明n=k+1 A．3×7k+6 B．3×7k+1+6 【题型二】 等式的证明 【典题1】 用数学归纳法证明：1+2+3+?+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N 【典题2】 观察下列等式： 13=1；13+2 (1)请写出第5个、第6个等式，猜想出第n(n∈N (2)用数学归纳法证明你的猜想． 巩固练习 1 (★★) 证明：11×2 2 (★★) 证明(3× 3(★★) 证明： 1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)= 4 (★★★) 给出下列等式： 31×2×1 31×2×1 31×2×1 … (1)由以上等式推测出一个一般性的结论；(2)证明你的结论． 5 (★★★) 证明 tanα?tan2α+tan2α?tan3α+…+ 【题型三】 不等式的证明 【典题1】 已知前三个式子分别为：1+12232， 照此规律，写出第n个不等式，并证明． 【典题2】证明：当n≥2 , n∈N时，1 【典题3】证明：sin?(nα)≤n 巩固练习 1 (★★) 证明：12+1 2 (★★) 当n≥2，n∈N*时，求证：1 3 (★★) 证明：1+1 4 (★★★) 设an=1×2+2×3 5 (★★★) 已知a0，b0，n1，n∈N*．证明： 【题型四】 数列与数学归纳法 【典题1】 已知数列{an}的前n (1)计算a1 , a2 , a3 【典题2】 设正项数列{an}满足a1=1，a 【典题3】 由正实数组成的数列{an}满足an2 【典题4】已知数列an的各项都是正数，且满足：a0=1 证明an 巩固练习 1 (★★) 在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1 2 (★★) 已知数列{an}的前n项和Sn，且 (1)求a1 , a2 , 3 (★★★) 已知数列{an}满足a1= (1)计算a2 (2)猜想数列{a 4(★★★) 已知数列{xn}满足x (1)猜想数列{x (2)证明：|x 5 (★★★★) 设数列{an}满足a (1)当a1=2时，求a2 (2)当a1≥3时，证明对所有n∈N*，有：①a 【题型五】整除问题 【典题1】用数学归纳法证明：2n+2×3n 巩固练习 1 (★★) 用数学归纳法证明：n3+5n(n∈N 2(★★) 用数学归纳法证明：1+2+22+…+ 3 (★★) 证明：对一切正整数n，5n+2×3 【题型六】 其他应用 【典题1】 平面内n条直线，其中