高考一轮总复习-079.二项式定理(提高)-知识讲解.pdf

高考总复习：二项式定理 【考点梳理】 要点一、二项式定理 公式 叫做二项式定理。其中 叫做二项式系数。 叫做二项展开式的 通项，它表示第 项。 其中： ①公式右边的多项式叫做 的二项展开式； ②展开式中各项的系数 叫做二项式系数； ③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用 表示；二项展开式的通项公式为 . 要点诠释： 二项展开式的通项公式 集中体现了二项展开式中的指数、项数、 系数的变化，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项 等）及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用。使用时要注意： （1）通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项； （2）通项公式中a和b的位置不能颠倒； （3）展开式中第r+1项的二项式系数 与第r+1项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的 系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心以防出差错； （4）在通项公式中共含有a,b,n,r, 这5个元素，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到：知道5个 元素中的若干个（或它们之间的关系），求另外几个元素的问题。这类问题一般是利用通项公式，把问 题归结为解方程（组）或不等式（组），这里要注意n为正整数，r为非负数，且r≤n。 要点二、二项展开式的特性 ①项数：有n+1项； ②次数：每一项的次数都是n次，即二项展开式为齐次式； ③各项组成：从左到右，字母a降幂排列，从n到0 ；字母b升幂排列，从0到n ； ④系数：依次为 . 要点三、二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 ②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶 数时，二项展开式中间一项的二项式系数 最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数 ， 相等，且最大. ③二项式系数之和为 ，即 其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即 要点诠释： 1．对于二项式定理的构成，展开式中含 的项的系数可理解为从n个相同的a+b中先取出r个b ，有 种不同取法，再从剩下的n-r个括号中取出n-r个a ，有 种方法，据分步计数原理，共有 种不同方法数，该方法数就对应着展开式中含 的项的系数。 2 ．二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a ，b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒 等式.因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数” ，它是解决组合多项式问题的原始依据。 3. 二项式定理中，项的系数与二项式系数的区别是：它们是完全不同的两个概念。二项式系数的指 ，它只与各项的项数有关，而与的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部 分，它不仅与各项的项数有关，而且也与的值有关。 【典型例题】 类型一、求特定项和特定项的系数 【例1】已知二项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。 【思路点拨】本题要利用二项式展开式通项公式写出通项，要求有理项只需使整理后的x的幂指数为整 数即可。 【解析】二项展开式的通项公式为 由此得二项展开式中末三项的系数分别为，， 依题意得 注意到这里 ，故得n=8 ∴ 设第r+1项为有理项，则有x的幂指数 为整数， ∴ r=0 ，4 ，8 ， ∴ T 1，T5 ，T9为有理项， 又由通项公式得： ， ， ∴ 所求二项展开式中的有理项分别为 ， ， 【总结升华】求解二项式展开式特定项步骤： 写出展开式的通项公式→合并同类项整理→令x的指数为整数k→根据0≤r≤n,r∈Z,求k →根据k值求出展开 式的有理项。