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考向07 函数的单调性与最值
1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。
2.函数在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。
3.函数的单调定义中的、有三个特征:(1)任意性(2)有大小(3)属于同一个单调区间。
4.求函数的单调区间必须先求定义域。
5.判断函数单调性常用以下几种方法:
(1)定义法:一般步骤为设元作差变形判断符号→得出结论.
(2)图象法:如果是以图象形式给出的,或者的图象易作出,则可由图象的上升或下?确定单调性.
(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调区间.
(4)性质法:(1)对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的增减性及增减性质进行判断;
6.求函数最值(值域)的常用方法
(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
1.单调性技巧
(1)证明函数单调性的步骤
①取值:设,是定义域内一个区间上的任意两个量,且;
②变形:作差变形(变形方法:因式分解、配方、有理化等)或作商变形;
③定号:判断差的正负或商与的大小关系;
④得出结论.
(2)函数单调性的判断方法
①定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断.
②图象法:就是画出函数的图象,根据图象的上升或下降趋势,判断函数的单调性.
③直接法:就是对我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接写出它们的单调区间.
(3)记住几条常用的结论:
①若是增函数,则为减函数;若是减函数,则为增函数;
②若和均为增(或减)函数,则在和的公共定义域上为增(或减)函数;
③若且为增函数,则函数为增函数,为减函数;
④若且为减函数,则函数为减函数,为增函数.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
一般地,设函数的定义域为,区间:
如果对于内的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在区间上是增函数.
如果对于内的任意两个自变量的值,,当时,都有,那么就说在区间上是减函数.
= 1 \* GB3 ①属于定义域内某个区间上;
= 2 \* GB3 ②任意两个自变量,且;
= 3 \* GB3 ③都有或;
= 4 \* GB3 ④图象特征:在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的,减函数的图象从左向右是下降的.
(2)单调性与单调区间
= 1 \* GB3 ①单调区间的定义:如果函数在区间上是增函数或减函数,那么就说函数在区间上具有单调性,称为函数的单调区间.
= 2 \* GB3 ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
(3)复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”,即在对应的取值区间上,外层函数是增(减)函数,内层函数是增(减)函数,复合函数是增函数;外层函数是增(减)函数,内层函数是减(增)函数,复合函数是减函数.
2.函数的最值
前提
一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足
条件
(1)对于任意的,都有;
(2)存在,使得
(1)对于任意的,都有;
(2)存在,使得
结论
为最大值
为最小值
1.(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))已知函数,则不等式的解集为(???????)
A. B.
C. D.
2.(2022·吉林长春·模拟预测(理))对任意不相等的两个正实数,,满足的函数是(???????)
A. B.
C. D.
3.(2022·陕西·宝鸡中学模拟预测)下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的是(???????)
A. B.
C. D.
4.(2022·浙江·高三专题练习)若不等式(且)对任意都成立,则的取值范围是(???????)
A. B. C. D.
5.(2022·河北·石家庄二中高三开学考试)已知函数在区间的最大值是M,最小值是m,则的值等于(???????)
A.0 B.10 C. D.
6.(2022·浙江·高三专题练习)已知函数,若时,则实数a的取值范围为(???????)
A. B.
C. D.
7.(2022·全国·高三专题练习(文))函数,若满足恒成立,则实数的取值范围为(???????)
A. B. C. D.
1.(2022·江苏无锡·模拟预测)已知,则,,的大小为(???????)
A. B. C. D.
2.(2022·青海·模拟预测(理))若,则(???????)
A. B.
C. D.
3.(2022·河南·开封市东信学校模拟预测(理))已知函数,则a,b,c的大小关系为(???????)
A. B. C. D.
4.(2
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