1.1.2 空间向量数量积的运算-(人教A版2019选择性必修第一册) (教师版).docx

空间向量数量积的运算 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量 a , b，在空间任取一点 O，作?OA=a , OB= 若 a , b=π2 2向量的模 设 OA=a，则有向线段?OA 3 向量的数量积 已知向量a , b ，则|a| 即a 4 空间向量数量积的性质 a⊥ b 5 空间向量数量积运算律 ① ② a? b= ③ a?b ④不满足乘法结合律:a 【题型一】数量积的运算 【典题1】如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M,N分别是AD、BC的中点，则AN? 【解析】在三棱锥A-BCD中，连结ND，取ND的中点为E，连结ME，则ME//AN， 异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC ∵AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M,N分别是AD、 ∴AN=22 又∵EN⊥NC,∴EC=N cos? 由图可知，AN与CM所成角为钝角，则cos?? ∴AN 故答案为：-7． 【典题2】已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E,F分别为棱AB,CD的中点， 则AF?CE= A．1 B．2 C．-1 D．-2 【解析】∵四面体ABCD，所有棱长均为2，∴四面体ABCD为正四面体， ∵E,F分别为棱AB,CD的中点， ∴AF =1 故选：D． 【点拨】求空间向量数量积，第一个念头是利用定义a?b= |a| b|cosa , b；但若两个向量的模或其夹角其一交难求解，可把所求向量的数量积转化为其他具有较多性质向量的数量积，比如本题把AF? 巩固练习 1(★) 平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(DB A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 【答案】 C 【解析】 ∵((DB ∴(AB+AC)?(AB 则△ABC的形状是等腰三角形．故选：C． 2(★) 在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，AB?CD+ A．-1 B．0 C．1 D．不确定 【答案】 B 【解析】 根据题意，AB? 故选：B． 3(★★) 如图，在三棱锥P-ABC中，AP,AB,AC两两垂直，AP=2，AB=AC=1，M为PC的中点，则AC?BM的值为 【答案】 12 【解析】由题意得BM= 故AC? 4(★★) 在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足AM=xAB+yAC+(1-x-y)AD，点N满足DN=λ 【答案】 -1 【解析】 ∵AM=xAB ∴M∈平面BCD，N∈直线AB， 当AM,DN最短时，AM⊥平面BCD，DN⊥AB， ∴M为△BCD的中心，N为线段AB 如图： 又正四面体的棱长为1，∴AM=6 ∵AM⊥平面BCD，∴AM ∴AM =1 5(★★★★) 已知三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H，侧棱PA=PB=PC，点O为三棱锥P-ABC的外接球O的球心，AB=8，AC=6，已知AO=λAB+μAC+11+3 【答案】 150π 【解析】由于三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H， O为球心，OA=OB=OC=OP=R， 即有PH⊥AB,PH⊥AC，∴HP 由AO=λAB 则有AO?AB=λAB 同理对①两边取点乘AC，可得18=36μ+λAB? 又μ+λ=1④ 由②③④解得，λ=12,μ= 即有AO? 即为AH 又AO2 即R2= 又在直角三角形AOH中，R2=(HP-R) 由⑤⑥解得R2 则有球O的表面积S=4πR 【题型二】数量积的应用 【典题1】 如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB 【解析】 方法一 如图过点A作AE//BD，过D作DE//AB，则易得∠CAE=60°， 在?CAE中，C 在Rt?CED中，CD 方法二 如图，CD CD = = =9+4+16+2×4×3×cos120° =17 ∴CD的长为17． 【点拨】 ① a⊥ ② 方法一利用了二面角的概念和平几的知识进行求解，方法二直接利用向量的运算显得更简洁，也体现了向量的威力！ 【典题2】已知：正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD 【解析】 (1)如图所示， 正四面体ABCD的棱长为1，E、F、 设AB= ∴BE=1 ∴EF 同理可得GH= ∴EF =1 ∴EF与GH的夹角为90° 巩固练习 1(★★) 在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D 【答案】 6 【解析】 ∵ 则A =1+1+1+3×2×1×1×cos60°=6． ∴|A 2(★★) 如图，三棱锥O－ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC，记OA=a 【答案】 22 【解析】根据题意