2021年第38届全国中学生物理竞赛(扬州福建赛区)复赛理论试题.pdfVIP

38 第 届全国中学生物理竞赛复赛 （扬州、福建赛区）理论试题 （考试时间：2021 年10 月10 日上午8:30-11:30 ） 考生必读 1、考生考试前请务必认真阅读本须知． 2、本试题共4 页，每大题40 分，总分为320 分． 3、如遇试题印刷不清楚情况，请务必向监考老师提出． 4、需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸上；写在试题纸和草稿纸上的解答一律不能 得分． 一、（40 分） 如图所示，质量为M 的斜面可在水平面上滑动，斜面 倾角为θ，质量为m 的滑块与劲度系数为k 的轻弹簧一端相 连，弹簧另一端固定在斜面底端．设初始时M 与m 静止， t＝0 时将m 从弹簧原长位置释放．斜面与水平面之间的摩 擦以及滑块与斜面之间的摩擦均可忽略。 （1）试求系统振动的周期T； （2）试求t 时刻弹簧的压缩量x(t)和斜面M 向右的加速度a(t)． 二、（40 分） 一质量为m 的卫星沿地球轨道绕太阳运行．某一时刻卫星打开太阳帆——半径为R 的 圆形镜面反射薄膜．在随后运动中帆不断地改变方向，使帆面总是垂直于太阳光．已知：万 有引力常量为G，地球轨道可看作圆，太阳质量为M，太阳半径为R ，太阳表面温度为T ， S S 太阳可视为理想黑体，辐射遵从斯忒蕃－玻尔兹曼定律，斯忒蕃常量为σ． （1）当卫星到太阳的距离为r 时，试求卫星受到的合力F(r)的表达式 （以径向向外为正）； －11 2 2 （2）已知卫星质量m＝100kg，太阳帆半径R＝70m，万有引力常量G＝6.67×10 N·m /kg ， 30 5 3 太阳质量M＝2×10 kg，太阳半径R ＝6.69×10 km，太阳表面温度T ＝5.78×10 K，斯忒 S S －8 －2 －4 蕃常量σ＝5.67×10 W·m ·K ．试判断在张开帆以后卫星的运行轨迹形状 （定性即可）以 及轨迹是否闭合．若轨迹闭合，求卫星运行的周期T （年）；若轨迹不闭合，求卫星在无穷 远处的剩余速度v ． ∞ 1 4 第 页 共 页 三、（40 分） 一个半径为r、质量为m 的均质实心小圆柱被 置于一个半径为R （R＞r）、质量为M 的匀质薄圆筒 中，圆筒的中心轴O和小圆柱的中心轴C均水平， 横截面如图所示．将圆筒放置在粗糙地面上，圆筒 只能在地面上无滑滚动，小圆柱也只能在圆筒内壁 无滑滚动．如图所示，将圆筒中心轴O 的水平位置 记为x，小圆柱中心C与O 的连线与竖直方向间的 夹角记为θ．重力加速度为g． （1）若t＝0 时，θ(0)＝90°，系统由静止释放，试 求小圆柱运动到最低点时，对圆筒的压力． （2）若运动过程中θ始终为小量，系统应该具有两种特殊的运动模式，即：①整体匀速运动 模式；②往返振动模式． （i）写出关于x 和θ的动力学方程组； （ii）分别给出系统单独呈现上述一种运动模式时，x 和θ的初始条件应满足的定量关系； （iii）写出系统往返振动模式的振动周期； （3）系统的一般运动为上述两种特殊运动模式的叠加．若t＝0 时，x(0)＝0、x(0) v 0 ，θ(0) ＝θ （小量）、(0) 0 ，试求任意t 时刻的x(t)、θ(t)． 0 四、（40 分） 在一个真空二极管中，电子从阴极面 “热蒸发”后向阳极面 加速运动．阴极电势为零，对面阳极的电势为V ．在两极间隙中 0 所形成的电子云 （称为空