2014年第30届全国中学生物理竞赛复赛（含答案）.pdfVIP

1 第30 届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准 R 一、 （15分）一半径为 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水 v 0 平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其 大小为 ( ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力 v v  0 0 0 加速度大小为g . 参考解答： 以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面 O v 内侧运动时，可将其速度 分解成纬线切向 (水平方向)分量 及经线 v  P v m 切向分量 . 设滑块质量为 ，在某中间状态时，滑块位于半球面内  P P 侧 处， 和球心 的连线与水平方向的夹角为 . 由机械能守恒得 O  1 2 1 2 1 2 mv0 mgR sin  mv  mv (1) 2 2 2 这里已取球心 处为重力势能零点. 以过 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为 O O 零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故 mv0 R mv R cos . (2) 由(1) 式，最大速率应与 的最大值相对应  v v  max ( max ) . (3) 而由(2) 式， 不可能达到π 2 . 由(1)和(2)式， 的最大值应与v 0 相对应，即 q q  v (max ) 0 . (4) [ (4)式也可用下述方法得到：由(1)、(2) 式得 2 2 2