5.3 导数与函数的单调性 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(教师版).docx

导数与函数的单调性 1 函数单调性与导数 在某个区间(a , b)内，若f(x)0 ，则函数y=f(x)在这个区间内单调递增； 若f(x)0 ，则函数y=f(x)在这个区间内单调递减． 2 若函数y=f(x)在某个区间(a , b)内单调递增，则?x∈a , b , fx≥0(含等号 解释 假如存在一区间(c , d)?(a , b)内使得fx=0，那原函数y=f(x)在区间(c , d)内恒等于一个常数，即fx=m(m是个常数 函数y=f(x)在某个区间(a , b)内单调递减有类似结论！ 【题型一】 不含参函数的单调性 【典题1】函数f(x)的定义域为R，且图象如图所示，则不等式xf(x)0的解集为 . 【解析】由图可知，f(x)在(－∞ , -12)和 ∴当x∈(－∞ , -12)∪(1 ∵不等式xf(x)0可等价于x0f(x)0或x0 ∴当x0时，有x∈(-12 当x0时，有x∈(－∞ , 综上所述，不等式的解集为(－ 【点拨】由原函数y=f(x)图像判断出原函数的单调性，继而得到导函数f(x)的正负性(导函数的穿线图)，再看图易得不等式解集.注意原函数的趋势图与导函数的穿线图之间的转化. 【典题2】若函数f(x)=－x3+ax2+4x 【解析】f(x)=－x3 若f(x)在区间(0 , 2)上单调递增，则－3x2+2ax+4≥0在(0 , 2) 方法一 分离参数法 要(*)成立等价于a≥3x2- 令g(x)=3x2- 则g(x)=32+2x 故g(x)g(2)=2， 故a≥2， 方法二 数形结合法 令tx=－ 结合图像可知若要(*)成立，只需要t2 【点拨】 ① 若函数y=f(x)在某个区间(a , b)内单调递增，则?x∈a , b , fx≥0(含等号 ② 处理恒成立问题，方法多样，比如直接转化为最值问题，利用分离参数法转化为最值问题，数形结合等. 【典题3】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f(x)，且对任意实数x都有f(x)+f(x)1，则不等式exf(x)ex 【解析】设g(x)=ex 则g 故g(x)在R上单调递增， 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0， 所以g(0)=－ 而不等式exfx 又∵g(x)在R上单调递增，∴x0． 【点拨】 本题属于构造函数题型，如何构造呢？角度有二 ① 从已知条件fx+ 思考某函数g(x) 这需要熟悉求导法则的逆运用，下表举例供参考(其中c是常数)： (1) fx+h(x) (2) xf(x)+f(x)形式，构造函数 (3) xf(x)+nf(x)形式，构造函数 (4) xf(x) (5) f (6) f 形式多样，不需要死记，要灵活运用，本题可利用第(5)个例子. ② 从求证入手，要求不等式exf(x)ex－1，变形得 【典题4】求函数f(x)=x2 【解析】函数f(x)的定义域是(0 , +∞)， (注意定义域) 由f(x)=x2-1 令g(x)=x－lnx－ 令g(x)0，解得x1，令g(x)0，解得0x1， 故g(x)在(0 , 1)递减，在(1, 故f(x)≥f(1)=0， 故f(x)在(0 , +∞)递增，无递减区间. 【点拨】 ① 本题其实是对原函数进行了“二次求导”，思路可以如下 求原函数f(x)=x ?分析导函数f(x)=x－lnx－1的正负性( ?若能画出导函数y=f(x)的图像一切就清楚，那就再分析y=x ② 原函数的单调性与导函数的正负性相关，分析导函数的正负性利用注重导函数的零点问题； ③ lnx≤x-1是个重要的不等式. 巩固练习 1(★) 已知定义在区间(－2 , 2)上的函数y=f(x)的图象如图所示，若函数f(x)是f(x)的导函数，则不等式f(x)x+1 【答案】(－2，－1)∪(－1，1) 【解析】结合导数与单调性关系可知， －2x－1，1x2时，函数单调递减，此时f′(x)0， 当－1x1时，函数单调递增，此时f′(x)0， 由不等式f(x)x+10可得，(x+1)f′(x 解可得，－1x1或－2x－1， 故不等式的解集(－2，－1)∪(－1，1)． 2(★★) 已知x0，a=x，b=x-x22，c=ln(1+x) A．cba B．bac C．cab D．bca 【答案】D 【解析】令f(x)=a－c=x－ln(x+1)，x0，f′(x)=1-11+x ∴函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴f(x)f(0)=0，可得ac． 令g(x)=c－b=ln(x+1)－x+x22，x∈(0，+ ∴g′(x)=11+x-1+x ∴函数g(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴g(x)g(0)=0． ∴cb． 综上可得：acb． 故选：D． 3(★★) 已知定义在R上的函