AHP层次分析法解析.docx

第一单元层次分析法—— 第一单元 层次分析法——AHP 简介 1 1– PAGE 10 第一单元 层次分析法—AHP 简介 (The Analgtic Hierarachy Process AHP) 前言 最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：——人的选择和判断， 需要认真地研究选择和判断的规律，这就是 AHP 产生的背景。 匹兹堡大学 Saaty 教授于七十年代中期提出层次分析法 AHP。于 80 年代初由 Saaty 的学生介绍到我国。 层次分析 AHP 的特点： 输入信息主要是决策者的选择和判断。决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识； 简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算； 实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析； 系统性： 人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP 把问题看作一个系统属于第三种，真正要搞清楚 AHP 原理，需要深刻的数学背景。好在我们只重应用， 并不过多涉及 AHP 的数学背景。 AHP 的主要不足在于： 1. AHP 只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。 规划论——采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受。 AHP——从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断， 当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP 的结果显然靠不住，所以， AHP 中通常是群组判断方式。 尽管 AHP 在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于 AHP 简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。 §1 AHP 预备知识（一） 特征?根?与特征向量 ? 设 A ? a ij m?n 为 n 阶方阵，若存在常数? 和非零 n 维向量 g ? (g , g ? ? 1 2 ,?, g n ) ，使得 Ag ? ? g (1) 则称，? 向量。 ? 是矩阵 A 的特征根（或特征值），非零向量 g 是矩阵 A 关于特征根? 的特征 特征根的求法 ? ? ?? ? ? ?? 由（1）得Ag g ? 0 ? A ? E g ? 0 ，这是一个 n 元一次线性齐次方程组，按题 意该方程组有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即 A ? ? E ? 0 （2） 称（2）式为矩阵 A 的特征方程，它是一个一元 n 次方程，由代数基本定理知，该方程有且只有 n 个根。 重量模型 设u , u 1 2 ,?, u n 为 n 个物体，重量分别是g , g 1 2 ,?, g n 。但是，我们并不知道物体的重 量，只知两两之间重量比的比值： 设准则 C 为重量，问题是：  a ? g g ij i j 已知a (1 ? i, j ? n) ，在准则C 下对元素u , u ,?, u 排序，也就是按其重量大小排序 ij 1 2 n 已知。 ?A ? a ? ? ? g ?? 1 ? g ? g1 g? ? 2 g g1 ? g1 ? n??2g g n ? ? 2 ?g 2 ? g 2 ? ? ij n?m ? 1 g 2 gn ? 显然a ij  满足（1）（2）： （1） a ? 0 ij 1 ? ? ? g ?? gn ? 1 ? ? ? ? ??gn ? gn ? ? ?g g ? 2 n a ? ij a ji a ? a ? a ij jk ik 但是，（3）式通常?不?被满足，满足（1）、（2）的 A 为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且 也成立时的 a 称为一致性判断矩阵。问题是：已知判断矩阵A，在准则C 下对 n ij 个物体排序。即按重量大小排序。 g 如果， a ij 性矩阵。令 ? i 是， g g i j ， g 是重量的精确值，此时（3）式必定成立，即 A 是一致 j 则 Ag ? ng g ? ?g g ?g ?T 1 2 n 显见 n 是方阵 A 的特征根，g 是 A 的与? ? n 对应的特征向量；事实上此时不难验证： n 是方阵 A=(aij)的最大特征根，其余 n-1 个特征根全为零，而 g 是 A 的与最大特征根 n 对应的特征向量。（证明见附录） g 的 n 个分量是物体的相对重量，因此，可按此对 u , u 1 2 ,?,