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专题07 三角形边角关系的四种压轴题型全攻略
【知识点梳理】
三角形内角和定理:
(1)定理:三角形三个内角和等于180度
(2)直角三角形的两个锐角互余
三角形三边关系:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
只需满足:第三边两边之和(两边为相同两条边)
类型一、利用三边关系求值或化简
例、若a,b,c是△ABC的三边的长,则化简|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|的结果是( )
A.a+b+c B.-a+3b-c C.a+b-c D.2b-2c
【答案】B
【解析】∵a,b,c是△ABC的三边的长,∴a-b-c0,b-c-a0,a+b-c0,
∴|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|=-(a-b-c)-[-(b-c-a)]+(a+b-c)=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c.故选B.
【变式训练1】已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是 .
【答案】10.
【解析】因为2+2<4,所以等腰三角形的腰的长度是4,底边长2,周长:4+4+2=10,答:它的周长是10,故答案为10.
【变式训练2】小明手中有2根木棒长度分别为和,请你帮他选择第三根木棒,使其能围成一个三角形,则选择的木棒可以是( )
A. B. C. D.无法确定
【答案】C
【解析】解:设第三边长为xcm,由三角形三边关系定理可知,9-4<x<9+4,即,5<x<13,∴x=6cm符合题意.故选:C.
【变式训练3】已知是的三边长.
(1)若满足,,试判断的形状;
(2)化简:
【答案】(1)是等边三角形;(2)
【详解】(1)∵,∴且,∴ ,∴是等边三角形.
(2)∵是的三边长
∴b-c-a0,a-b+c0,a-b-c0
原式===
类型二、证明不等关系
例、已知在△ABC中,AB=AC,D在AC的延长线上.求证:BD﹣BC<AD﹣AB.
【解答】证明:∵△BCD中,BD﹣BC<CD,
∴BD﹣BC<AD﹣AC,且AB=AC,∴BD﹣BC<AD﹣AB,
【变式训练1】如图,O是△ABC内的一点,连结OB,OC,求证:AB+AC>OB+OC.
【解答】证明:如图,延长BO交AC于点D,
∵AB+AD>OB+OD,OD+CD>OC,∴AB+AD+CD>OB+OC,即:AB+AC>OB+OC.
【变式训练2】如图,点P是△ABC内任意一点,求证:PA+PB+PC>12AB+12
【解答】证明:∵PA+PB>AB,PB+PC>BC,PC+PA>AC.
∴把它们相加,再除以2,得PA+PB+PC>12AB+12
【变式训练3】观察并探求下列各问题,写出你所观察得到的结论.(1)如图①,在△ABC中,P为边BC上一点,则BP+PC AB+AC(填“>”、“<”或“=”)(2)将(1)中点P移到△ABC内,得图②,试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.(3)将(2)中点P变为两个点P1、P2得图③,试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.
【解答】解:(1)BP+PC<AB+AC,理由:三角形两边之和大于第三边,
(2)△BPC的周长<△ABC的周长.理由:如图,延长BP交AC于M,在△ABM中,BP+PM<AB+AM,在△PMC中,PC<PM+MC,两式相加得BP+PC<AB+AC,于是得:△BPC的周长<△ABC的周长,
(3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长,理由:如图,分别延长BP1、CP2交于M,由(2)知,BM+CM<AB+AC,又P1P2<P1M+P2M,可得,BP1+P1P2+P2C<BM+CM<AB+AC,可得结论.
类型三、面积问题
例、如图,在中,点将线段分成的两个部分,点将线段分成的两个部分,若的面积是,则的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 设S△ABC=m,∵AD:BD=2:1∴S△ADC=, S△DBC=,
∵BE:CE=1:3∴S△AEC=, S△ABE=,∴S△ADE=S△ABE=×=,∴S△AEC:S△ADE=9:2,
∴, ∴S△ACF:S△ADF=9:2,而S△ADF=4∴S△ACF=×4=18,故选:B.
【变式训练1】如图,中,两点分别在,上,若,则的面积:的面积___.
【答案】
【解析】解:∵BD:AB=BE:BC=1:3,∴BD:AD=BE:EC=1:2,∴S△BDC:S△ADC=1:2,S△BDE:S△DCE=1:2,设S△BDC=x,则S△ADC=2x,S△BED=x,∴△DBE的面积:△ADC的面积=x:2x=1:6.故答案为:1:6.
【变式训练2】如图,对面积为的逐次进行操作:第一次操作,分别延长、、至点、、,使得,,
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