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球积公式的历程 球的度量是一个很古老的课题。公元前6世纪，•古希腊毕达哥拉斯学派即 对球很感兴趣，认为它是所有立体图形中最美的。公元前3世纪，•欧几里得在 V D 《几何原本》第12卷里提出如下命题：“球体积（ ）与它的直径（ ）的立方 成正比。”此即 3 V kD ＝ (4-1-1) k 《几何原本》未给出常数 的值。 稍后于欧几里得，大数学家阿基米德（Archimedes，前287～212)•通过力 学方法发现：球体积是以其大圆为底、半径为高的圆锥体积的四倍，即(4-1-1)• ABCDO ACBD 中的 。如图4-1-1， 是球 为纸面所截得的大圆， 、 是其相互垂 O ABAD 直的直径。正方形VWYX是球 的外切圆柱的相应截面。连 、 并延长，交 EF EF ELFG EF VX L G WY•的延长线于 、 。过 、 作 、 垂直于 ，分别交 的延长线于 、 。 LEFG AC EF 则 和矩形 分别是轴为 、底为以 为直径且垂直于纸面的圆的圆锥 AC T LEGF M N 和 圆柱的截面。过 上任一点 作垂直于纸面的平面，交 、 于 、 ，交 ABCDP Q AEAF R S 大圆 于 、 ，交 、 于 、 。于是 图4-1-1 MNPQ RS EG O AEF CA H 、 和 分别是圆柱 、球 和圆锥 的圆截面直径。延长 到 ， 使 ，于是 因此 圆柱截面:（圆锥截面＋球截面）(4-1-2) 即 （圆锥截面＋球截面）＝ 圆柱截面。 CH H 若将 看成杠杆，则由杠杆定律，重心放在 处的圆锥截面和球截面关于 A T 支点 与重心放在 处的圆柱截面相平衡。由于所有平行截面均有(4-1-2)式结 H A 果，因此将所有力矩相加得：重心放在 处的圆锥和球关于支点 与放在原处不 O 动的圆柱相平衡。因圆柱重心在球心 处，故有： AEF EG （圆锥 ＋球）＝ 圆柱 ， 即 EG AEF ＝圆柱 :（圆锥 ＋球）。 AH AO EG AEF 但 ＝2 ，圆柱 ＝3圆锥 ，故得： AEF 球＝ 圆锥 。 AEF ABD 因圆锥 ＝8圆锥 ，所以有 ABD 球＝4圆锥 (4-1-3) 以及 WX 球＝ 外切圆柱 。(4-1-4)